1、 目 录第一篇 教学技巧- 1 -第一章 教师行为规范- 1 -一、课堂教学教师基本行为规范- 1 -二、教师备课，课堂上教师的语言、板书等具体要求- 1 -三、教师的教学观念- 2 -第二章 教学心理学- 3 -一、小升初学员情况：- 3 -二、五年级学生情况：- 5 -三、三四年级学生情况：- 6 -四、一二年级学生情况：- 6 -五、学生的各种毛病的原因分析- 7 -六、各个年级学生问题主要解决办法- 7 -七、如何对各个年级的家长施加压力- 7 -第三章 课程亮点的塑造- 8 -【课程亮点综述】- 8 -【从课程内容上制造亮点内涵】- 8 -【从上课风格上制造亮点幽默】- 13 -【从2、形式上制造课程亮点创意】- 16 -【最大的课程亮点爱】- 17 -第四章 如何与家长良好的沟通- 18 -一、与学生沟通- 18 -二、与家长的交流- 18 -三、寄予新教员的几句话- 19 -第五章 如何做好开班、结课- 20 -一、大班课开班- 20 -二、结课- 22 -三、复制- 23 -四、续费- 23 -第二篇 知识体系- 24 -第一章计算- 24 -第二章 几何问题- 32 -第三章 数字谜- 41 -第四章 应用题- 51 -第五章 数论- 65 -第六章 计数- 75 -第七章 数学思想- 87 -第八章 数学史- 97 -一、中国数学史- 97 -二、数学名家- 1023、 -三、数学名著- 103 -四、数学名题- 103 -第三篇 专业知识普及- 104 -第一章 介绍- 104 -第二章 课程介绍- 105 -一、华数课本班- 105 -二、学校小学数学尖子班、实验班简介- 105 -三、小升初预备班- 106 -四、小升初综合素质课程- 106 -五、重点中学综合素质面试辅导班- 107 -六、重点中学分班考试班- 108 -七、小升初数学专题短训班- 108 -八、竞赛考前辅导班- 109 -九、家教小学奥数课程一览表- 110 -第三章 小升初介绍- 111 -一、小升初流程- 111 -二、比较好的中学：- 111 -三、关于电脑派位和跨区，跨中心4、- 111 -四、学校的来历- 112 -五、学校有几个年级，怎么招生？- 113 -六、华数和奥数的区别- 113 -附：家长看小升初- 114 -第四章 重大赛事介绍- 115 -一、希望杯- 115 -二、“华罗庚金杯”少年数学邀请赛- 118 -三、走进美妙的数学花园- 119 -第一篇 教学技巧第一章 教师行为规范课堂教学是教师对于学生教育教学活动的重要组成部分。因此，教师在课堂教学活动中的行为，包括语言，板书，组织教学，控制教学状态及安排课上、课下学习活动的配合等等工作就应该受到每一个教师的重视。下面就相关问题提出要求和规范。一、课堂教学教师基本行为规范1) 每次上课前要提前五分钟5、到达教室讲台，检查各种教学用品是否已经准备好了（包括粉笔、黑板擦、教具等），做好上课前的一切准备工作。开始上课时，教师首先要巡视全班同学，了解并掌握上课状态，这是组织教学的第一个环节。待学生坐好，并做好了上课的准备，注意力已集中起来时再开始讲课。2) 教师必须做到不迟到，不早退，不中途随意出入教室，不喝水，不吃东西，不准使用手机等通信工具。同时要求学生严格遵守。要求学生举手发言，经老师同意后方可起立回答问题。多表扬表现好的同学，不批评或轻批评偶尔犯错误的学生。3) 教师要注意自己的衣着整洁，朴素大方，注意不引起学生的新奇感和议论，更不能因此而影响学生的上课注意力。上课时如遇家长进入教室影响正常6、教学，出现问题留在课间处理避免发生冲突。二、教师备课，课堂上教师的语言、板书等具体要求1) 教师要认真备课，为了备好课，要求教师熟悉所授课班级学生名单，了解学生来源及学生入学相关的具体情况，基本掌握学生原有学习的总体水平和数学程度。每一堂课上课前准备好教案，要求经得起扴查。备课内客包括课号，课题，教学目的，教学内容及具体安排，本课的重点和难点，课上时间分配及安排课下配合预习、复习、练习等辅助学习内容等等。教师要根据教学具体内容具体安排。备课是上好一节课的关键，也充分体现教师对工作认真负责的态度。关于如何选择和准备具体教学内容，要严格执行教学计划，要结合学生的具体情况，要强调内容的趣味性，知识性7、和教育性。2) 教师的课堂语言（讲课），是传达教学内容，完成教学任务，直接全方位影响学生的重要形式。因此，要求语言清晰准确，说话要负责任。语气要有“磁性”，要有吸引力，要能引起学生的注意。因此，力求幽默诙谐，要有轻重起伏之分，要能突出重点，并注意与肢体语言的配合。语言表现是能否保证全班同学有高的“收听率”的关键。3) 教师在课堂上的板书表现，对学生的学习习惯，学习方法和记笔记的能力等的培养和影响是很大的。对学生今后书写文字都有直接的影响。教师在备课时要有充分的考虑，在上课时以下几个方面要有所准备：黑板上写什么？写在什么位置上？图画在什么地方？用什么彩色粉笔？等等。不应该随手写随手擦，一般是从左8、到右从上到下顺序使用黑扳。板书的安排要注意到为学生记笔记提供方便。板书安排要整齐有序，便于学生覌察、思考和做笔记。三、教师的教学观念要更新，要逐步改变传统的老师教，学生学的一般做法，提倡老师调动，学生发挥的教学理念1) 课堂教学是教师和学生互动的一种集体活动形式，教师在教学中的作用及教学效果的体观，主要表现在教师组织整个教学及控制教学状态的适度方面。教师除去对自己所述的教学内容做到心中有数，更多的应该关注学生的状态及教师与学生的互动，交流与配合，应该有张有弛，有活跃有严肃。只有掌握好度，才能持续维持良好的师生互动状态。2) 课堂教学中要调整好教与学的关系，避免把老师教变成知识、方法、内容的传递9、（传声筒），把学生的学变成被动、不加思索、不动脑的吸取（容器）。这种做法有害于学生对所学知识的掌握和自身的提高，更会对培养学生综合素质和思维能力产生负面影响。教师调动学生的学习积扱性，进一步培养学习兴趣，教师的行为应是一种鼓舞，一种激励，特别是在思维能力（思维习惯、思维方法等方面）的培养上是一种激活。学生应该在教师的调动下，展示个性，发挥才智，挖掘潜能。正确的教学观念及教师的积扱行为是培养学生，教育学生，提高学生综合素质、思维能力的关键。3) 课堂教学中的每一堂课，从一开始回顾上一节所讲内容和所留思考问题（应该起到承上启下的作用）到介绍讲解本节内容，直到下课前的小结和布置作业和课下活动安排，应10、该是有机协调的一个整体。做得更好的应该把课上内容和课下活动熔为一体，这才更有利于学生掌握知识，培养素质和提高能力。我们每一个从事数学教育教学工作的数学老师，应该看到数学对人特别是对青少年学生自身的素质和能力的影响，有着其它学科无法替代的学科优势，我们都应该思考和研究如何利用好数学，为培养和造就未来人才做出我们的贡献。第二章 教学心理学教育心理学告诉我们：小学生的年龄特点是好奇心强、模仿性强、生性好动，有意注意持续时间相对较短 。方法：1.热身运动。2.利用幻灯片。3.提问式。4.竞赛法。一、小升初学员情况：优等生学习基础：大部份在课外参加过学习班，98以上学习过华、奥数，并且不管是在校学习或者11、在校外辅导班的学习，都能认真听讲、独立完成作业，学习成绩较好，一般名列前茅。学习习惯及性格（学习）特点：学习自觉，能够比较合理的安排学习，作业都能认真完成。对学习大都有强烈的求知欲，不会因为学习更多的知识而感到烦躁。善于思考，可以不会做题或者粗心而看错题但一定不会瞎做题。能够承受类似于题海的大批量的习题，耐挫力强，不轻易放弃自信心强，对各种比赛参与性高。在校表现：有一部分在校担任各种学生干部或科代表，有一部分则在其他科目上也体现出优势，是学校的活跃分子。家庭学习环境：该类学生出自书香门弟的较多，在良好的教育环境熏陶下，从小耳濡目染，大部分的孩子爱看书，同时父母的监督及辅助也给他们创造了良好的学12、习环境。在外上辅导班，父母会帮助做笔记，课后在练习上标注各种记号区分学生对练习掌握的情况，督促孩子完成各种作业，有一些家长能够和孩子一起讨论做题。主要集中于的学校：各重点学校实验班（人大附中实验班、清华龙班、北大附实验班）中等生学习基础：绝大多数曾经学习过华、奥数，但是没有长期坚持，约有一半都是曾经上过大班的辅导课后没有明显进步而停止学习或者坚持学习下来了但知识掌握不牢固，大部分知识不会运用。校内的学习没有太大问题，都能够独立完成作业，但是考试中最后的能力思维训练题能够完成的不多。成绩不稳定。学习习惯及性格（学习）特点：该类学生分两类，一类是“认真型”，一类是“活跃型”。 “认真型” 女孩居多13、，多数上课认真听讲、做笔记，但思维不够活跃，接受新知识和新事物需要一个过程，但学习上都要求进步，对于作业，能够自己完成的独立完成；“活跃型”在小学阶段男孩居多，大部分思维活跃，接受新知识能力快，但学习马虎，基本功不扎实，经常会在基础题上丢分。两者对于各种比赛都有很高的参与比例，但是缺乏获奖的信心。在校表现：该类学生班级中占有很大的比例，他们既不是老师头痛的对象偶尔也缺乏老师的关注，但是大部分都乐于为班级做事、有表现自己才能和智慧的要求。家庭学习环境：一部分家长能够关注到孩子学习问题，但是大部分该类学生家长没有能力或者没有时间来督促和管理孩子的学习。主要集中于的学校：各类学校基础差的学生学习基础14、：大部分学生能够掌握课内的知识，但是综合及发散型题目不能完成，大多数没有参加过任何校内或者校外的学习班。成绩常处于班级末尾，表现在各科目上。学习习惯及性格（学习）特点：学习动力不足，往往缺乏学习的自觉性和主动性，经常处于被动的学习状态；缺乏意志努力，更缺乏学习的自信心，个别有“努力也学不会”，破罐子破摔的思想；记忆力不佳，很多问题由于记忆知识不清楚造成考试失分。在校表现：对于各种竞赛参与性不高，主要是由于参与的自信心不足及兴趣缺乏。家庭学习环境：该类学生家长几乎无暇顾及学生学习，个别情况出现在学生不听从父母的辅导或督促，家长心有余而力不足。主要集中学校：各类学校，海淀区较少深入学习更多的策略一15、个学得轻松愉快却成绩拔尖的学生和一个学如苦海挣扎却难以跟上的学生的一个明显差别就在于学习策略各异。有的学生学习效率高，他们有一肚子学习上的策略方法，并很清楚怎么样运用和为什么要运用这种种的学习策略。这样的学生志在学深学透，他们直觉地，常常是习惯成自然地刨根问底，不搞清楚不罢休。但是，也有一些学生学习上几乎没有什么灵验的策略。例如，他们本该完成老师市置的作业，但却碰到拦路虎，做不下去。他们总是一个劲地说自己一直都在思考，可一旦被问及在有什么思路时，就答不上来了。 学习效率高的学生总是对各科作业仔细分析，以找出有助于提高成绩的特定策略。如若自己对自己成绩的进步水平不满意，就会要么更加刻苦努力，要么16、转而采用别的学习策略。 与这样的学生相反，那些不具有这种自控能力的学生多半做不到这一点，也想不到这一点。如若他们就手头上的作业找人谈一谈，则谈的内容多半不是这道题该怎么做，就是不由自主地感叹自己不会做。 成绩好和成绩差的学生之间存在差异的原因之一，是其各自在学习上的自我调整能力有差异。实际上，成绩好的学生确实用上了不少行之有效的学习上的策略方法，包括确立学习目标，订制学习计划，不时回顾前一段的学习和采用的方法，自查(自己对照答案)，勤学好问，看课外辅助读物，以及使用记忆策略等。 教师有一个决定性的作用，那就是，作为一名教师，要帮助学生开发制订学习计划和评估自己的学习情况和方法，从而进入主动和独17、立学习境界的能力。教师必须自问：“在教学中的每一个环节，我该做些什么，才能减轻学生学习上的困难?”作为老师，我们应该在学科教学范围内讲授不同的学习方法，以使学生从中切实得到各种机会进行学习方法的训练。重要的是，教师应先对课程的内容作一分析，确定即时有效的或有针对性的若干学习策略。针对性的方接指导应使学生懂得某一种特定的策略可用于其它的多门学科，这就给学生提供了在各种各样的情境之中反复练习不同策略的机会，教师还应以定期进行评估来确保学生一直都会将采用某种学习策略作为自己日常学习不可分割的一部分。 M：设计(Model)一种策略并详细说明如何运用；I：告诉(Inform)学生该在什么样的情况下如何18、运用这种策略；R：提醒(Remind)学生用这种策略；R：反复(Repeat)指导学生通过实践练习这种策略；O：着重讲解(Outline)这种策略的灵验之处以不断反馈回来的实用效果为例；R：重新评估(Reassess)学生的成绩，检验采用这种策略的成果；S：加强(Stress)学习策略的推广二、五年级学生情况：在教学过程中,我们发现在五年级入学阶段没有任何奥数基础或者三、四年级间断的在大班里学习过却学得不扎实得学生占到入学总人数的40%.而五年级阶段奥数在小升初占据重要的地位,如果能够在这一年的学习过程中下狠功夫,那么无疑为下一年的小升初冲刺做好了准备.那么针对这样的学生,该如何准备来学习奥数19、?1. 打开思维,拓展能力奥数学习是综合着极强数学思维的学习,而大部分学生低年级的学习过程中,只是简单的模仿记忆,死记公式,而很多家长也会发现孩子学习奥数的过程中,刚讲过的知识孩子大部分能够明白,可时间一长就全都忘了,或者,见到稍有变化的题目就无从下手,比如在三年级奥数的典型应用题中的鸡兔同笼问题,那么对于题目条件中给出”头和,腿和”可以解决,但是如果题目变成条件为”头差,腿和”,”头和腿差”或者“头的倍数关系以及腿和”,那么孩子就无法解决,归根结底,没有明白该类型题需要掌握的数学思想,刚才提到鸡兔同笼问题,就是教授学生”假设”的思想.如果学生能够在学习的过程中不断的积累数学方法,在理解的基础20、上去记忆,数学思维得到开拓,再学习新的其他知识自然而然接受很快,必能够做到”学之于题,而高之于题”2. 基础练习,增强信心数学思维的训练不是一蹴而就,在课堂的学习的过程中学生一定会遇到”高门槛”,如果课后的练习也是同等难度,对于无奥数基础的学生来说很难全部独立解决,严重打击学习积极性和自信心.因此,课堂上讲的东西应适当降低难度的给学生留作作业,而学生在学习的过程中是”痛苦”的过程,而当他发现他能够独立完成这么难的知识点的作业的时候,他一定会建立起自信,那未来即使很辛苦,而有这份成功的喜悦伴随着,那也能”苦中做乐”了3. 打持久战,坚持大量做题,“熟能生巧”,历届考上各重点中学的学生中无一个不是21、在大量练习的”长征”中过来的,想用2年的时间把别人4年或5年中学习的东西掌握,那是非得要下一番功夫,学生家长一定要给孩子打气,最好每天都让学生坚持做口算,并且在时间有余的情况下,多做练习额外的练习.像这本刘金友的经典题库,有关于难度的设置,根据学生的情况选择相应难度的题目反复练习,是一本首选的练习题库.三、三四年级学生情况：以培养学生的数学思维与学习能力为宗旨。通过教师与学生之间互动性的教学过程，结合学生的生活经验，引导学生从具体直观感受上升到理性分析，体验数学思维的全过程，形成科学思维的雏形。让学生在独立思考中提高分析、整理、归纳的能力，真正掌握数学的思想与方法，拓展学生的思维空间，形成正确22、的数学观，体验原汁原味的数学文化。四、一二年级学生情况：孩子终于上小学了，家长带着欣喜和期待看着孩子走进课堂学习各种知识，但这种学习远不能满足社会和家庭对于孩子的期望，每个家长都希望自己的孩子要比别的孩子强，要赢在起跑线上，那么课外辅导正好满足了家长这一要求。刚入学的孩子正处于各种意识的启蒙阶段，如果启蒙得好，孩子将一辈子受益，家长也免去了日后诸多的烦恼，但启蒙得不好就可能成为一辈子的憾事。我们学校的小学老师都深深懂得这个道理，秉承着“一日学习一生受益”的原则努力地做好低年级孩子的课程辅导，把工作做到最细微处，特别是一二年级的华数课程重在启蒙孩子的数学思维，培养数学意识，培养对数学的兴趣并且让23、孩子在轻松愉快的氛围中感受数学带来的冲击。以培养学生的学习兴趣和启蒙数学意识为宗旨。课程设置符合小学生认识事物的客观规律，通过教师与学生之间的互动，或者制作形象生动的教具，或者把鲜活的例子带进课堂，把一个个孩子感兴趣的卡通动画嵌套进去，让一个个沉闷的数字都活动起来，这种形象教学，不仅开发孩子在数学学科上的想象力，还让孩子在自己动手的过程中感受数学知识的形成过程，逐渐形成科学思维的雏形。五、学生的各种毛病的原因分析学习没有兴趣考试粗心大意逆反心理严重学习提高遇到瓶颈每天作业做不完上课不爱听讲六、各个年级学生问题主要解决办法总的方法：激发学习兴趣，培养良好学习习惯、改进学习方法，树立明确目标七、如24、何对各个年级的家长施加压力第三章 课程亮点的塑造【课程亮点综述】在课程中亮点很重要，这是能给孩子留下深刻印象的东西，可能一个孩子在迫于压力上着各种各样杂七杂八的课，但是只有你的课是孩子最喜欢的，这需要一个老师展现自己的人格魅力，从某种程度上来讲，上课是一个show，是你如何把你想要表达的东西传递给学生和家长的过程。制造课程亮点，其实说白了就是所谓的扯淡，在枯燥无味的数学课中不扯淡几乎是不行的，对于小学生来说数学题目没有能将他吸引到课堂上坐三个小时的能力，如果是纯讲课程内容的话，学生必然会犯困，尤其是第一排的学生，那是你的信号，如果连第一排的学生都昏昏欲睡，那你这课就实在上得没什么意思了。但关键25、问题是，怎么能扯得不露痕迹，扯得比较有水平，在扯淡中传递你所要表达的东西，这是需要仔细琢磨的事儿。关于制造课程亮点，我们主要分三个部分来讨论从内容上制造课程亮点、从风格上制造课程亮点、从形式上制造课程亮点。【从课程内容上制造亮点内涵】从内容上制造课程亮点，就是一个课堂所富有的内涵，一个老师的人文气质、丰富的学识和深刻的见解都是课堂重要的亮点，你的理念应当是：利用数学传播我们所要表达的，而不是仅仅传递数学知识。这样的东西在经过细致准备之后，一定会是课堂亮点，而且能够跨越年龄层次，在任何年级都非常适用。1、 巧妙的方法。巧妙的方法是一位老师数学素养的体现，也是在课堂上为数不多但最出彩的亮点。发现别26、人没有发现的东西，讲别人不太常讲但是很巧的东西。例如：计算是数学基本功，计算有一个非常方便的方法。常规方法是先将化成，利用分配率，。但事实上这样一类很接近整十整百整千数的乘积有一个让人瞠目结舌的计算：的补数是，的补数是，用一个数减去另一个补数，即减去，得就是前两位，后两位则是两补数相乘之积，如右图所示。原理非常简单，但熟练之后计算的快速性让人相当惊讶。2、旁征博引。旁征博引充分显示一位教师的修养和知识含量，随口引出一些学生们本该知道但不太注意的细节，在课堂上是超级亮点。这样的旁征博引一般分两种，一类是对于问题的追根溯源，另外一类是数学史或数学家的故事。1069491图110694914910027、02469634518图210694914910002469634518119745图3例如在讲到乘法计算时，可以讲讲古印度人的画线计算乘法，古印度人和阿拉伯人用下面的方法来计算乘法，我们可以管它叫“格子乘法”，例如计算：用格子乘法进行计算分三个步骤，如图所示。（1）首先画出格子，例如题目中位数乘以位数就画出的格子，在格子上打上对角线，将被乘数和乘数写在格子的上边和右边，如图1。（2）在每个格子里填上这行最上面和最右面数的乘积，十位填在斜线上，个位填在斜线下，没有可以不填，如图2。（3）从最右面开始，依次把每一斜行的数加起来，写在格子下面，如需进位直接向前进，如图3。还可以介绍一下，这样的算法28、在中国也古已有之，中国人称之为“铺地锦”。在清代李汝珍写的百科全书式的古典小说镜花缘中，专门描述了这样的算法。这部小说包罗经史子集几乎所有古籍内容，还有生物、园艺，医药、音乐以及天文、地理，文学、数学等等知识。小说的后半部描写了100位才女各展才能，其中利用“铺地锦”计算圆桌周长的米兰芬就是一位“神算子”。书中关于数学的描写，书中还描述了等差数列、盈亏问题、鸡兔同笼等等。在引用的过程当中，尤其是数学家的故事，是可以大量来讲的，比如说讲到数列规律的时候一定会提到著名的斐波那契数列，那抽10分钟介绍一下斐波那契的生平就是课程亮点之一。而且这样的介绍一定要是有特点的，不同于别人的方式斐波那契(Leo29、nardo Fibonacci，约1175-约1240)是生活在丢番图之后费尔马之前这2000年间欧洲最杰出的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利比萨，那个有一座斜塔的城市后来因为传说伽利略做过自由落体实验而著名事实上伽利略从来没在比萨斜塔上做过落体实验。童年时他生活在非洲北部海岸的布奇，父亲是一名税务官。父亲的职业让斐波那契开始对算数产生兴趣，他曾经去过很多阿拉伯港口，还到过埃及、西西里岛、希腊、叙利亚等地旅行，也是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。虽然斐波那契的杰作算盘书（Liber Abaci，写于1202年）初版已经失传，但是通过后来流传的版本看，全书共有15章，引进30、了印度-阿拉伯数码（包括0）的读法和使用方法。可以说是他对将印度-阿拉伯数字广泛普及到欧洲起了重要作用。3、 深刻的理解。对于问题的深刻理解是最能显示一位老师的专业知识，站在什么高度去看问题，得出的就是什么样的效果。理解的深刻程度直接决定了讲解出问题后学生的反应程度。例如：在讲年龄问题时，来看这样一个问题，“当弟弟是哥哥现在年龄的时候哥哥的年龄是当哥哥是弟弟现在年龄时候弟弟年龄的4倍，求哥哥和弟弟现在各多少岁？”。这话本来就很绕，如果没有深刻理解的话很难说得清楚。有的时候学生经常会提问一些奇怪的问题，但是就小学水平而言，都是可以准备的。例如，在课堂上有同学问：时间是不是能倒流的？可以不用给学生31、们讲爱因斯坦的相对论，对学生们来说，通过故事可以让他认识的更清楚，譬如可以讲这样一个故事：来自海因莱因的你们这帮傻瓜，故事本身很晦涩难懂，所以想要讲到让大家都明白要下一点功夫，需要自己对它有很好的理解并加以叙述，而真正理解清楚之后，让哪怕是三年级的孩子一样能听懂都不难做到，这点屡试不爽。1945年，在英国伦敦有一家孤儿院，这里生活着一个小女孩，我们给她起个名字吧，例如叫珍妮。珍妮从小就生活在孤儿院里，她一直不知道自己的父母是谁，但是孤儿院里的老师、同学对她都很好，她在这儿生活的很快乐。直到1963年她18岁了，她已经长成了一位貌美如花得姑娘。由于成年了，珍妮离开了孤儿院，她找到了一份非常好的工32、作，她每天上班下班，和同事一起玩，总之生活得很快乐。直到某一天，她走在大街上，非常意外地，她碰到了一位流浪者，一位到处流浪的人，并且他俩居然很快就一见钟情了。接下来就像各种小说里描述的一样，他俩很快结婚了，并且一年之后，珍妮很高兴，因为她马上要当妈妈了，她非常高兴，她和丈夫每天在家里讨论着要给孩子起个什么样的名字，他们将会过上什么样幸福得生活。但是就在孩子出生的前5天，一连串的打击接踵而至。这天早上来，丈夫去上班，但是没有回来，珍妮给他的单位打电话，单位说他压根儿就没来过，丈夫好像失踪了，怎么都找不到。于是珍妮只好自己去医院，就在手术台上，医生告诉她说她难产，为了保住孩子和她，医生不得不给她的33、身体做了必要的手术，把她从一位女士，变成了一位男士，而且这还不够，就在孩子出生的第三天，孩子在产房里就莫名其妙被人给偷走了。一连串的打击让已经变成了男士的他心灰意冷，他再出院之后再也不想去工作了，他对生活绝望了，他开始喝酒，开始抽烟，开始到处流浪。有一天他跌跌撞撞地进入一家名为“大众之地”的酒吧里。这个酒吧里有一位年长的酒吧招待员，他听了流浪者的遭遇，觉得非常气愤，说这样吧我来帮助你，只要你跟我加入我们的“时间旅行者团队”。流浪者满口答应了，他们坐上了一部时间机器，酒吧招待把流浪者送回到1963年，也就是他结婚的那一年。他漫无目的地在大街上流浪着，非常意外地，他遇到了一位貌美如花的女子，并且他34、俩居然很快地一见钟情了。接下来就像各种小说里描述的一样，他俩很快结婚了，并且一年之后，流浪者很高兴，因为他马上要当爸爸了，他非常高兴，他和妻子每天在家里讨论着要给孩子起个什么样的名字，他们将会过上什么样幸福得生活。但是就在这时，老人提醒他说这样会打破因果规律的，决不能留下任何东西，于是就在孩子出生的前5天，流浪者忍痛离开了妻子，悄悄地藏了起来，并且就在孩子出生的第3天，他悄悄地潜入了产房当中，将婴儿偷出来，并且将她送回到了1945年，伦敦的一家孤儿院中。这位流浪者终于把他的一生集中在一起并成为团队中受人尊敬的年长一员。接下来他接到了一个秘密度任务，就是化妆成一位年长的酒吧服务生，去1970年的35、“大众之地”酒吧等待一位落魄的流浪者的到来。4、 趣味问题。任何人都不会拒绝有趣，所以趣味的问题一定是大家所感兴趣的。例如在右图中，用8根火柴摆成两个菱形，请移动一根火柴，变成一个菱形。当揭晓结果如下图的时候，同学们就抓狂了。类似这样的趣味问题几乎每讲都会有一些，尤其是在逻辑推理、统筹规划这样杂题方面，大家可以选择一些来用。5、 不仅传递知识，还传递观点。在课堂上，我们要传播给学生的，决不仅仅是知识，一定还有自己的观点，这是课堂的重大亮点，可能很多观点会对学生一生的价值观产生重大影响。我们是在利用数学传播观点，何不在编辑讲义的时候，把一些观点编入其中呢，不要一说到行程问题就一定是A、B两地，甲36、乙两人，能不能换一些花样呢？事实上很多时候可以自然地将观点融入到问题当中去，有时候只需一句话即可：例如在和差倍问题中，可以出这样的问题：“医生说，多喝开水有益身体健康。艾呵水同学带了一个水壶，第一次喝了多少杯，第二次喝了多少杯”一则生活小常识就很自然地在问题中展现出来了。类似地，只要不是政治色彩很浓的，都是可以讲的。例如在方阵问题中，可以将题目出成“为贯彻中华人民共和国宪法第三十五条中赋予公民集会、游行自由的权利，北经大学组织名同学在“六一”儿童节上街游行，所有的同学按照不同的专业被平均分为队，而且每队都要站成一个方阵。那么方阵的每边有多少人？”6、对学生进行激励。讲人生励志的故事是新东方的37、看家本事，其实对于小学生来说，明显会感觉到每个年级的成熟程度的不同，三年级是懵懵懂懂，四年级是刚刚开窍，五年级是大智若愚，六年级是可以和你平等交流如果你愿意的话。所以在这个时候，讲一些励志的事情会对他很有帮助，但是要在顺理成章的地方出现。1）讲励志的故事。 翻开任何一本小故事大道理的书都会有很多这样的故事，但大多都是生拉硬拽非常教条的故事，讲出来也很生硬，破有教条之感。于是要遴选其中精彩的来改编，用最适合语言传播得方式来进行表述。例如，在讲转化思路的时候可以讲这么一个故事：有一位日本的小男孩，他非常喜欢柔道，于是去拜会当时日本最著名的一位柔道大师，想跟着他学习柔道。但是很不幸，这个小男孩很小的38、时候在一次车祸中，失去了自己的左胳膊。大师看他非常认真，决定教他，小男孩学得非常认真，但是他很不明白的是，两年过去了，老师却只教了他同一个动作，让他好好练习。两年之后师傅说，你可以出师去比赛了。小男孩觉得很奇怪，我就只会一招儿啊，这样行么？但是他很相信师傅，于是就去参加比赛。他就凭着这一招儿，居然就拿到了全国比赛的冠军。他自己都很惊讶，回来问自己的师傅，为什么只用老师所教的一个动作，就拿了冠军呢？ 老师回答他说：有两个原因： 第一，我教你的招式是柔道中最难的一个动作，你很刻苦，对它很精通；但是这还不够，因为会这一招儿的人不止你一个。第二个原因是最重要的，因为据我所知，到目前为止，想要破解这一招39、儿的办法只有一种，那就是对方必须要牢牢地抓住你的左手才行！于是，小男孩最大的劣势，被大师转化成了他最大的优势。2）讲自己小时候的故事。 老师是学生的最好的榜样，讲自己的一些故事，是对学生学生的一种示范和激励，学生永远都是在模仿一位优秀的老师“当年”的表现。当然一个人的经历不可能非常之丰富，那就在准备得极度熟练的情况之下，将别人的故事安到自己头上吧，未尝不可！【从上课风格上制造亮点幽默】幽默是一种传播方式，一个没有幽默和内涵的大众传播肯定是失败的，幽默和内涵是一位教师人格魅力的最高体现。同样要表达一个东西，能让人记住的是幽默的表达。比如多年前流传的大学自习曲，是一个很长的5分钟的故事，但是听过两40、遍之后几乎能让人完整地复述下来，因为其中暗含了很多幽默成分在里面。在什么时候需要幽默课堂上不是任何时候都需要幽默的，幽默应当用得恰到好处，这样才能获得课堂中的亮点，一定注意：幽默的目的是为了让学生们记住本来枯燥不容易记住的东西，其实也就是所谓的大道理，在讲大道理的时候，最好幽默一些。通常在下面4个时候需要幽默的表述。1）重点强调知识点的时候。用幽默的方式对知识点加以概括强调，这时候可以幽默一下，以便让大家记住。例如分数计算中常会出这样的问题：，我们所用的解法是“拆项”，将其中的每一项拆成两项，这讲中，最重要的就是突出一个“拆”字。于是有老师上课这样表述“我拆我拆我拆拆拆”，但是效果不好，因为小41、学生根本就不看吴宗宪的我猜幽默一定要注意对象感！完全可以用其他的方式表述，例如“身为中国人，我们当然要牢牢记住拆的方法，因为我们中国叫做拆呐（China）！”。2）需要表达一些要求的时候上课宣布课堂纪律，告诉同学们上课要认真，不要在试卷上涂涂改改，回家之后一定要复习之类的话，大家耳朵都已经听出茧子了，重复强调是没用的，但是可以换一种方式来表述。例如要求同学们在试卷上尽量不要涂涂改改，同样是这个意思，可以这样表述：有一次我判一位同学的作文，当我看他作文第一段的时候我觉得应该给他一个中等偏下的分数，因为他的作文水平确实不怎么样，他连开头都没有，人物关系交待的一点都不清楚，逻辑非常混乱，每个人物也都42、不知道怎么出场的，但是在我看完第一段之后发现后面有一个大大的箭头括弧写着“在此之前插入一段”。于是我就耐着性子看这一段，当我看这一段的时候我觉得我应该给他一个中等偏上的分数，因为我觉得他的作文水平确实还不错，如果把这一段补充完整的话，整个故事也就有头有尾了，非常清晰了，但是当我看完这一段之后发现后面有一行小字说：“以上这段不要”。3）总结方法的时候。一堂课到了最后总结的时候，最好用幽默的方式告诉大家，这是把复杂的故事道理讲清楚的能力。例如有一讲的中心思想是强调多个角度全面思考问题，可以举这样一个例子。去年暑假班之后，我跟几位老师出去玩，去四川九寨沟。我们坐火车去嘛，从北京到四川差不多要25个小43、时，也就是一天一夜。我们第一天中午出发，第二天下午到。到第二天中午的时候呢，火车已经开入到四川境内了，四川很多山路哈，于是火车就穿行在崇山峻岭之间，突然一位老师指着窗外大喊：“大家看！”我们就顺着他手指的方向看去，山坡上有一支奇怪的生物，什么奇怪的生物呢，就是一只绵羊，关键啊，那是一只黑色的绵羊你们见过黑色的绵羊吗？我们几位老师都是第一次次见，觉得特别新鲜，于是就开始七嘴八舌的讨论。看到绵羊的那位老师大喊：“大家看，四川的绵羊居然是黑色的！”旁边有一位老师听了不乐意了，他说：“张老师您说的话是有问题的，你只看到了一只绵羊，怎么能下如此草率的结论说四川的绵羊是黑色的呢，我以经验来保证四川肯定还有44、不是黑色的绵羊，就算只有黑色的绵羊，在你看到一只的时候也不能简单地下这个既论，以你为你毕竟没有看到别的羊到底是什么样子。所以你只能说四川有一些绵羊是黑色的，这样才比较准确。”旁边一位老师听了不乐意了，他说：“王老师我觉得您说的还是有问题的，我是教语文的，我清楚在汉语当中一些表达的是什么意思，只有不止一只才能叫一些，您现在只看到了一只绵羊，怎么能说四川有一些绵羊是黑色的呢，毕竟您没有看到第二只黑色的绵羊，所以你最多只能说四川至少有一只绵羊是黑色的，这才比较准确。”旁边又一位老师插嘴进来：“李老师您说的还是有一些问题的，这只绵羊是黑色的，但是您看到它的另外一个侧面了吗，您看到它的肚子了吗看到它的蹄45、子了吗看到它的眼珠子了吗？难道它全身上下都是黑色的吗？您只看到一个侧面，是不能说这只绵羊是黑色这样漏洞百出的话，因为我曾经在新加坡见到过某一种母牛，它的身体两侧是完全不一样的颜色，您怎么能说它是褐色的呢，您充其量只能说四川至少有一只绵羊，它的这个侧面是黑色的！”旁边有一位老师听了不乐意了，他说：“陈老师您说的还有一些问题，您看到这只绵羊的这个侧面是黑色的，没错儿，难道您看清楚这个侧面的每一根毛了吗，难道这个侧面的每一根毛都是黑色的吗，难道中间就不能夹杂着一根黄毛一根绿毛一根紫毛一根红毛一根白毛一根其他颜色的毛吗，就算您看到了每一根毛，您能保证每一根毛丛发根到发梢斗都是黑色的吗，中间难道就不能掺46、杂着一段白的一段绿的一段紫的一段黄的一段红的一段粉的吗，您怎么能说它是黑色的呢，您充其量只能说四川至少有一只绵羊，它在我们这个侧面来看，大致是黑色的，加上大致这个形容词，说法就变得准确很多了。”旁边又有一位老师听了不乐意了，他说：“徐老师我觉得您说的还有一些，问题，这只绵羊是黑色的，在你的眼睛里它是黑色的，在我的眼睛里它也是黑色的，在他的眼睛里它也是黑色的，难道您能保证所有人看它都是黑色的吗？我们知道每个人对于颜色的感觉是不太一样的，有些人天生就分不太清楚颜色，在他的世界当中整个世界可能就是简单的一种或者几种颜色，您怎么能说他看起来这只绵羊的这个侧面大致也是黑色的呢，在他的眼睛里没准儿这只绵羊47、是别的其它什么颜色我们也不得而知，但是我想肯定不会是黑色的，所以我们充其量只能说四川至少有一只绵羊，它在我们几个人的眼睛里来看它的这个侧面，大致是黑色的。加上我们几个人的限定，这句话就说的准确很多了。”他们说完我都一直没说话，我终于忍不住了，我说：“大家说得都没错儿，但是，还是有一些问题的。这只绵羊你我他都看到了，在我们几个人的眼睛里它是黑色的，难道，你能保证他刚出生的时候就是黑色的吗，你能保证在过了这个冬天之后它换了毛还是黑色的吗，难道它昨天是黑色的、今天是黑色的、明天就还是黑色的吗？我们当然不能保证，我们生活在宇宙当中，芸芸众生、世界万物、历史长河，一定有一个东西叫做时间啊！在火车经过的一48、瞬间我们看到它是黑色的，不代表它在任何时候都是黑色的吧。所以我们充其量只能这么说：四川至少有一只绵洋，它在火车经过的一瞬间，从我们几个人的眼睛里来看它的这个侧面，大致是黑色的。”我们的讨论好不容易告一段落了，这时候再去看那只绵羊，那只绵羊早就不知道哪儿去了，但是刚才我们讨论的过程，就是科学发展的过程，自然科学就是这样发展的，对于一个东西的认识越来越全面，一开始我们的认识非常简单，这件事情是黑与白、好与坏、对与错、善与恶，但是随着我们的认识越来越丰富，哪怕是一只黑色的绵羊，我们也可以从10个，100个，1000个角度来说明它在什么什么情况之下，才能是黑色的。这就是全面思考一个问题的办法，大家明白49、了吗？4）需要活跃一下气氛的时候。这一点毋需太多强调，在需要活跃课堂沉闷气氛的时候，自然是需要使用幽默的方式来缓解。表达幽默的方法 反高潮+重复反高潮和重复是两种表达幽默的方式，无论是什么样的幽默，基本上都无外乎这两种情况，所谓的反高潮，就是突然迸发出的和预期完全不同的效果，而所谓的重复，就是像“黑色的绵羊”一样通过同样内容的反复表现而得出幽默效果。通常想要表达幽默的话，可以采用下面三种方式：1）句子本身的幽默性。这叫笑话，放之四海而皆准，但是要注意一点就是笑话一定是要有对象感的，而且是要经过试验的。所谓有对象感就是给不同的学生用不同的幽默方式，分不同的年龄层次，否则很难出效果。但是需要注意一50、点：在很多人同时接受信息的时候会有“群体效应”，使得和一个人在接受信息的时候是完全不一样的，很多笑话在自己看来毫无效果，但是在课堂上展示出来会获得哄堂大笑。所以如果偶尔在课堂上发现一个段子非常有效果，可以让大家爆笑，哪怕你觉得他并不可乐，也应该记录下来，拿到另外一个班上去演绎，一定也会哄堂大笑，任何的群体都是有相似性的。2）语气的轻重缓急、熟练的表述。相声演员可以让一个并不可笑的东西获得哄堂的效果，原因就是在熟练表述的时候恰到好处地应用了语气的轻重缓急，让句子呈现一种天然的幽默性。这一点值得大家去练习，例如那只黑色的绵羊，是从小学1年级到大学都可以讲而且同样获得满堂彩效果的段子，屡试不爽，但前51、提是必须要有足够熟练的表述，至少要对着镜子练几十次，完全不打任何磕绊将其激情四射地演绎出来，效果自然就来了。【从形式上制造课程亮点创意】课堂是一个show，秀出创意自然是重要的亮点，也是区别于其他所有课堂的亮点。创意体现于在各种细节的设计：例如在课堂上展示一些小把戏，小绝活儿，都是极大的亮点，会让同学们津津乐道。例如对于学生的奖励，是否可以用一些特质的文具比如印有老师头像的本子，到印刷厂去订做一个，一般均价23元/本，很是划算，这难道不比送块巧克力好么？类似的还有写上鼓励语句的像框、毛绒玩具等等等等，用于在课堂上奖励表现出色的学生_不一定是学习好的哦。例如在第一节课时不露声色地做个简单统计，让52、每个同学填写一下基本资料。等到有学生过生日恰逢一节课的时候，带领大家一起在课堂上为他祝贺生日这可能是孩子从来没有感受到过的，有时候甚至会让他终生难忘。例如在课堂上穿插一些活动，很多素质拓展式的活动都可以穿插在课堂当中进行，让同学们调剂的同时感受到数学之外的收获。譬如说拍手的例子，操作起来非常简单。问问同学们，给他们一分钟时间，最快地拍手，能拍多少次？你可以让大家举手，100次，200次，250次，通常300次以上就没人敢举手了。然后可以向同学借一块能当秒表用的电子表，告诉大家掐10秒的时间，让大家拍手，自己数自己的次数。10秒过后喊停，通常同学们拍3545次，你可以来帮忙计算一下，按照40次作53、为平均数，这样一分钟能拍240次。但事实上，你只掐了6秒钟的时间，再让大家算一次，结果让人瞠目结舌，因为通常状况下，人在一分钟之内拍400次手绰绰有余。类似的活动可以去参考素质拓展培训相关书籍。如此等等，创意这东西，心有多大，舞台就有多大。【最大的课程亮点爱】和前面说的所有的相比，课程当中最大的亮点只需要一个字来概括，就是对学生的爱。凤凰卫视著名的主持人陈鲁豫说过：“让我的嘉宾爱上我，我就成功了。”同样地，用爱情人的方式来爱学生，让你的学生爱上你。所有付出的努力、准备，都是爱的体现，但是从最深处，爱每一个孩子。很多知识、感受、人生观、价值观孩子一生只有一次领悟的机会，那就是在你这里，孩子把这么54、多的第一次都献给你了，你还能够不爱他们吗？最后一段话是出自北大光华管理学院信息系统与物流管理系蔡剑老师的，与大家共勉：一名教师的优越感，应该来自他追求真理的勇气、他的责任心、他的奉献精神、他的爱的天赋，不能来自其他一些条件，比如所谓热门学科，是不是名校毕业，是否上过中央电视台，或者是不是海归。第四章 如何与家长良好的沟通一、与学生沟通1、课上互动与交流言语交流课堂上的互动交流主要是以提问为主，针对不同的学生会稍有差别。例如比较内向的学生我们基本是多鼓励和引导，即使是提问也会问比较简单的问题，这样可以增加学生的自信心；另外课上还会有一些学习好思路比较快但很调皮的孩子，我们对他们也要少批评，语言不55、要过于激烈，采取打一个巴掌再给一个甜枣的形式。眼神交流讲题时眼神的交流也很重要，尤其关注学习基础较差的学生。在课上，为了活跃课堂气氛，讲一些鼓励性的故事、做题积分换奖品、做些上课道具等，都是非常有效的方式，不过老师要把握好尺度，别因为活跃课堂而影响了教学进度。2、课下的交流问题目课下的交流一般是学生会拿一些问题来问，那处理的方式可以当场解答，如果时间紧而且题目较难可以过后打电话或发邮件答疑都可以，最好给学生一个许诺在什么时候一定给出解答。做这些更多的在另一面体现出你是一个负责任、可亲可爱的老师。做朋友有时课下和学生也可以简单的交流，老师尽量自然但不要总是询问的口气，一般说上几句，孩子就会和你畅56、所欲言的，虽然可能很幼稚，或者你很累时，也切勿表现的烦躁。二、与家长的交流1、课上与家长的交流宣布课堂纪律在课上，尤其是在第一次开课的时候，就要先和家长说好以下几点：上课关闭手机、不要随意的走动，随便说话，如果还有家长在课上打电话或者说话，很简单老师可以停下来微笑地看着他，接下来班上的所有人都会跟着你的眼神盯着他，不用你说家长自己就会不好意思的，所以事先讲好规矩很重要。有的老师可能会遇到上课讲着讲着题就有家长插话，指责讲的不合理，作为老师这时一定不能针锋相对，但要体现老师在课上的控制能力，你可以说上课的时候只有学生能问我问题，家长又问题课下交流，不要因为这个问题影响上课。2、课下与家长的交流在57、课下家长都会不定期的询问自己的孩子的学习情况，这就需要老师在每次上完课时，及时作好记录每个孩子的学习情况，一学期下来，学生的那个知识点不足或掌握得好就都了解了，同样可以体现是一个有责任心的老师。还有对于目前学生的状况可能家长会咨询上什么班比较适合自己的孩子，那老师对学校的班型和相应得知识体系要了解，最好经常去听听其他老师的课也是很有好处的。 三、寄予新教员的几句话最后想和新老师说的，也是我肺腑之言，“把老师作为自己的职业是一个很好的选择”，特别是在学生毕业即将离开你的时候，会不断地有家长向你表示感谢，感谢你在这段时间教育孩子让他考上了重点学校，即便在今后无意中碰上，家长仍会对你非常非常的尊敬，58、在我个人看来这就是对我工作最大的肯定。第五章 如何做好开班、结课一、大班课开班1开班前的准备开班前需要提交的材料：自我介绍，可以保证开班后的上课时间（务必一定保证），讲义。 （1）自我介绍：这是学生和家长对你的第一印象。短短的几十个字、几分钟的自我介绍，你就必须吸引住家长的眼球。名校，相关专业，学历，N年的教学经验。当然还得要根据自身的特点，说明一下你的授课风格及教学成果。如果都没有什么特别的，没关系，给家长展望一下经过你的辅导，学生都能取得什么样的进步。别心虚觉得自己的实力还需要实践考证，实践的证明班里的同学都会很喜欢你，认真听你课的学生期末时都有较大进步。 （2）上课时间：一旦确定了上课时59、间，务必要“风雨无阻”。据多年经验，一个学期课程下来，家长抱怨最多的老师就是上课迟到，总有事请假让别的老师给代课的老师。就算是在北京这样交通状况极差的城市，堵车也不能作为上课迟到的理由。第一次开课之前您务必先去上课地方踩点，了解一下需要花在路上的时间，以免第一次上课就给学生留下极坏的印象。如果交通相对拥堵，您可以选择骑单车，或是预留出足够的时间，因为不能保证上课时间是极端不负责，没有师德的表现，请新老师尤其需要注意这点。 （3）讲义：即使是同一个年级同样的课程，根据学生的情况讲义也会略有区别。开班前务必要做到对所讲年级的知识点“熟烂于心”，哪一讲应该是什么内容，重难点在哪都该在任何时候可以娓娓60、道来的，应当做到不拿讲义也能上课，就算不把每一道题目细节记得很清楚，也要务必对知识点融汇贯通，张口即来。低年级的老师务必注意奥数知识与课内知识的相关衔接。2第一次开课（1）仪表：关于“仪表”，已经不是第一次谈，反复的强调，实在是因为它太太重要了！三秒钟决定对一个人的印象，给家长及同学留下一个好印象将会给你的课堂一个暗示衣如其课，精心的着装就如你精心准备的课程一样。得体的着装是有涵养的表现。细则：着装稳重成熟，得体；有抽烟习惯的男士请课前吃口香糖（不要忘记上课前用吐掉）。女老师不要喷洒太浓的香水，不要画艳妆。夏季男老师不可穿大裤衩，拖鞋，并经常洗澡保证身上无异味；女老师不可穿超短裙，吊带衣，凉拖61、，不可佩戴夸张、发亮的首饰。时刻注意你的着装代表了你的品位和个人修养。在时间久了之后，大家可以允许一位优秀的老师在课堂上相对随意，在学校不乏有老师走进学生中间，甚至坐在课桌上讲课。这样显得更何学生接近，但是这必须建立在学生和家长足够信任的前提下，所以在刚开课的前几堂，着装仪表还是应当严肃一些。（2）第一堂课前和学生的交流我们总会告诉新老师，第一节课前务必早到一些，起码早20分钟来到课堂上，让学生看到你已经在这里了，你将会是他们的老师，由你来迎学生而非学生等你，因为学生是我们的顾客。同样地，有一些时间你也可以和第一排学生进行交流，了解一下他们的学习状况，之前学习的进度等等，以便最快地进入状态。千62、万记住：第一排学生就是你上课的信号，因为通常一位老师在课堂上的辐射范围是有限的，假如第一排学生都不能集中精神，都听得听得昏昏欲睡，那你的课已经非常糟糕了。（3）不留痕迹的自我包装，让人印象深刻的自我介绍。从那几十行字到现在活生生在学生和家长面前，如何让学生和家长更深刻的记住你，喜欢你，已经不是你在那夸夸其谈你曾经的教学成绩的时候了。轻松的自我介绍，让学生们很快记下你的名字很重要。一定给你的名字想一个独特的介绍方式，要留下的是学生永远忘不掉的印象。例如女老师名字里带有“杰”字。女子共撑一片天，出生时家长对于自己给予厚望要成“豪杰”，由此得名。例如郝挺老师在上课之前这样介绍自己：“我姓郝，我知道这63、个姓儿有着得天独厚的优势，因为每次我走在街上碰到同学跟我打招呼，他们都是特别热情地喊：哎，郝（好）老师好，我发现这个姓儿真占便宜。而且我特别佩服我妈妈给我起了这么好记的名字，简直太好记了，倒过来更好记。”在教学的过程中逐步让同学们认识你，领略你精湛的教学能力才是更为有效。自古中国人民信奉的是老夫子的儒学，含蓄谦虚尤其是教师所应具备的。一定不要家长觉得学校的老师仅仅是特能忽悠，我们只是换了市场经济社会下更易让人接受的销售自我的方式。这就也是不留痕迹地宣传和包装自己的过程，可以参见如何制造课程亮点（4）课程内容。详见如何制造课程亮点二、结课结课，不能只认为是这学期课程的“结束”，它更意味着新学期的64、开始。所以做好结课的安排，将为下一个阶段的续费做好准备。1课程：结课测试，成绩统计“有始有终”，例如学校尖子班开班的时候，孩子们都要进行“入学测试”，结课的时候，也需要有一个“测试验收”。最后一次课我们都会安排“结课测试”，还可以通过前后的成绩对比展示这学期学生的收获。务必要做到的是，在最快的时间内把学生的考试成绩统计出来，并且要把分数分层，对成绩优秀的同学是一定不能忘记在论坛上发贴表扬的。2家长会（如果有家长会，开班前会安排）（1）成绩分析。分析整体成绩；分析各分数段学生情况。分析整体成绩时，不管好坏都要给家长一个说法。大家都考得好，说明大家学习认真，家长辅导监督到位，但是不代表下一个阶段能65、保持，需要三方共同配合继续努力（给下学期升班做铺垫）。考得不好，说明试卷偏难，就是要让同学保持学习状态，不会的东西还很多，还需要继续好好学习，不能松懈。分析各分数段的学生情况是基于整体分析上的。优秀的同学，有进步的同学的要表扬。（2）下学期课程安排。持续学习的重要性；下学期内容的重要性。 持续性：介绍下学期持续学习的重要性，让家长意识到不能持续学习给学生带来的恶果：知识不系统、拉在其他同学后面（不进则退）。 重要性：介绍下学期学习内容在整个小学阶段所占的位置，描述的时候，不断举例在各类杯赛，小升初考试中里，该部分内容占的比例；对学生思维能力提高的培养上该部分内容侧重点。（3）渗透复制结课的时间66、都会在寒暑假前，这是推广寒暑假课程的重要阶段。在做学生分析的时候，就可以推荐学生成绩在分数以上的学生继续报课程，由我继续讲解（还可以从侧面透露老师很牛，讲授很多课程）（4）给家长留作业指导家长辅导在本学期学习还存在问题的孩子要好好利用假期的时间，并推荐书目，要求督促学生完成； 强调教师、学生 、家长三方努力。三、复制复制：从1到N复制的含意是一个学生由学习一个科目到学习多个科目，或者同科目的学习由一个课程到多个课程，另外大班课到小班课到一对一的课程。由辅导课程到考试课程到竞赛课程。复制可以在平时和结课时进行。在平时可以作多科目的复制，推荐学生参加英语的课程，比如报名参加EMC的学生可推荐参加英67、语课程，宣传综合素质的重要性；推荐学习有困难的学生参加一对一课程，辅助提高。结课时作寒暑假课程，尤其是专题串讲，竞赛赛课程的复制。四、续费升班续费是对培训学校老师的一个重要考核。没有市场，没有生源就谈不上其他了，续费工作是重中之重，但是续费的工作绝不是留到最后一次课来做。续费留在平时做学生家长：平时给孩子更多的关注，及时与家长沟通每一个学生的情况。让家长收获到课程以外的东西，这样家长会在心理上更认可老师。经常有一些班是老师根本无需专门谈续费之事，下一期的人只多不少，而且家长还会主动去打听这位老师还有没有别的课程，这个需要在平时课堂中进行的亮点展示，让这位老师给学生留下深刻印象。详见如何制造课堂68、亮点。第二篇 知识体系第一章 计算培训要求：了解各个学生层次所需掌握的知识，灵活运用公式及相应知识点解题。培训内容：本章按照数学课本得顺序主要培训整数的四则简便运算等公式的推导知识体系：第01讲四则运算一三上01在加减法运算中，掌握速算与巧算的各种方法，例如凑整、改变运算顺序、数的组合与分解、利用基准数、应用运算定律等等第02讲四则运算二三上02较复杂的加减法计算问题，以及乘除法计算的初步认识第03讲数列规律三上05通过观察所给数列、数组、数表的已知项，找出规律掌握一般寻求规律的方法，例如数值依次变化的趋势；相邻项的和、差、积、商；两个（或几个）数列的组合；通过试算寻找数列的定义等等第04讲四69、则运算三三下01乘除法计算中，学会合理应用运算法则，恰当改变运算顺序，巧妙拆解或组合，提取公因数计算等等同时，解题中融合四则运算里的各种技巧第05讲等差数列三下02等差数列的首项、末项、项数和公差等基本概念及其关系在解决等差数列相关问题中,总结出等差数列的通项公式、求和公式第06讲整数数列四上01较复杂的整数四则运算问题各种有数值规律和符号规律的数列计算，学会改变运算顺序、简单裂项、分组或分解的一系列方法第07讲多位数与小数四下01小数的概念和运算，计算中常常需要恰当移动小数点的位置带有省略号的多位数的四则运算，通常可以凑整、从简单情况着手找规律、直接通过竖式运算求解等等第08讲定义新运算四下70、02了解和熟悉“定义新运算”运算定律在定义新运算后是否成立的判别涉及通过方程、方程组的形式表现新运算的计算问题第09讲数列与数表一四下05通过数表中的已知数据，发现规律进行填补和计算问题考虑按行、按列、沿斜线或螺旋线等不同形式形成的数表结构，注意它们的差异涉及小数或其它方面知识的数列问题第10讲分数计算与比较大小五上01分数及四则运算相关概念与法则分数大小比较中的简单技巧，包括通分（母）、通分子、交叉相乘、和特定数比较、求倒数等等第11讲分数与循环小数五上02循环小数相关概念及加、减法运算，循环小数与分数之间的互化第12讲数列与数表二五上07等比数列的基本概念和计算公式具有规律性数列中的项被小71、整数除的余数问题涉及分数与小数或综合性较强的数列与数表问题初步掌握利用递推的方法来解决复杂问题第13讲比较与估算五下01掌握数值比较中的各种技巧，总结一些规律性的公式估算的过程中，合理利用放缩法，或者利用创造性的变形解决问题第14讲分数裂项五下02介绍分数裂项的一般方法用通分、约分或者裂项后相消的方法解决分数数列的计算问题第15讲计算综合六上01涉及分数、小数的定义新运算问题综合性较强的较复杂的计算问题巧算与“硬算”相结合及提高“硬算”能力的相关计算问题繁分式的计算【知识点1：四则混合运算（简便计算）】运算定律的综合运用连减的性质连除的性质同级运算移项的性质增减括号的性质变式提取公因数【例题172、】计算： （凑整法）【例题2】计算：1000+999-998-997+996+995-994-993+104+103-102-101（改变运算顺序）【例题3】计算：1234+2341+3412+4123 （纵向计算）【例题4】 （找规律递推）【例题5】计算：12345679888888888 12345679555555555 （特殊数的应用）【例题6】计算：99999222223333333334 （乘积不变定理）【例题7】 （提取公因数）【例题8】 （提取公因数）【例题9】（换元法）【知识点2：数列】斐波那契数列（上楼梯，城市地图）等差数列等比数列1、2、 3、 4、 【例题1】有一列数：73、1，2008，2007，1，2006，；从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差那么第2008个数是多少？（数列通向公式）【例题2】假定一对大兔子每一个月可以生一对小兔子，而小兔子出生一个月后长成大兔子问从一对小兔子开始，一年后能繁殖成多少对兔子？（斐波那契数列）得到如下数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，134，223【例题3】巧算= 。（等比数列）【例题4】计算 （等比数列）【例题5】计算 （等比数列）【知识点3：整数的拆分】拆成两个数的乘积拆成多个数的乘积【例题1】把2007分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何分拆？【74、例题2】把2007分拆成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该如何分拆？一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.【例题3】比较下面两个积的大小：A987654321123456789，B987654322123456788.【知识点4：分数】I、循环小数化分数1纯循环小数化成分数的方法2混循环小数化成分数的方法：II、分数的比较大小1.“通分子”。2.化为小数。这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。3.先约分，后比较。有时已知分数不是最简分数，可以先约分。4.根据倒数比较大小。575、差数比较法。当分子分母的差相同时（或与分母的几分之几的差相同时）可比较它们与1（或一个分数）的差。再比较大小。6乘积比较法。把分子、分母交叉相乘，比较所得的积，哪个分子所在的积大，这个数就比较大。III、分数的分拆1 一般问题：将写成的方法。2 利用分数的分拆进行简便计算，熟悉两种基本形式：【例题1】将下列分数由小到大排成一列：。【例题2】比较下列三个分数的大小：【例题3】你会用哪些方法比较和的大小。【例题4】【例题5】将写成的形式。【知识点5：估算】放缩法拆分法求某式的整数部分：放缩法【例题1】（1）的整数部分是_；（2）的整数部分是_【例题2】已知,那么的整数部分是 .【例题3】与相比较,76、较大的哪个数是 .【例题4】已知,问的整数部分是 .【知识点6：裂项】通过裂项，以实现抵消的目的。【例题1】【例题2】【例题3】【例题4】【例题5】+ + + + + + + + 【练习题】1 计算： = 。2 计算： 。3 计算：4 将连续正整数依下列方式分组：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），其中第一组有1个数，第二组有2个数，第三组有3个数，依此类推。请问在第2007组内所有的数之总和是多少？5 定义表示的整数部分，例如：。计算 。6 对于每个不小于1的整数，令表示的个位数字。例如，则 。7 在数3和7之间第一次写上10，第二次分别在3和10、10和7之间写上、；77、第三次分别在3与、与10、10与、与7之间写上，第次在每相邻的两个数之间写上这两数和的 。求第10次写完数后该行所有数之和。如右图示：（2007EMC5） 8 从下面每组数中各取一个数，将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是 。第一组： 第二组： 第三组：9 计算： .10 求满足条件：的最简分数之总和（是自然数）。（2007EMC6）11 已知,表示不超过的最大整数， 那么的整数部分是 。12 的整数部分是 。第二章 几何问题培训要求：了解各个学生层次所需掌握的知识，灵活运用相关定理及相应知识点解题，并掌握一定量的经典题型。培训内容：小学奥数几何主要分为长度和角度的计算，直线形，圆和扇形，立78、体图形和格点与割补。其中直线形，圆和扇形，立体图形是其中最重要的三大块，以直线形这一讲知识点和难点最多，题型也最复杂。本将培训主要需要将各知识点和考点详细介绍清楚，并着重与解题思路之间的联系。 知识体系：第01讲几何图形的认知三上11平面图形的辨识与分解理解立体图形的示意图、平面展开图的画法，并动手实践运用空间想象力解决立体图形表面染色的简单问题第02讲长度与角度的计算三下11计算线段或折线的长度，直线形周长等相关的几何问题学会用平移法、标向法计算路线长度掌握多边形的内角、外角、对顶角的基本概念和计算方法，较复杂的问题涉及角的构造第03讲直线形计算一四上07掌握基本图形的面积计算与周长计算，包79、括三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形遇到三角形相关的问题时需要合理运用等面积变换，并注意三角形与等底等高四边形的面积关系通过弦图初步了解勾股定理第04讲几何图形剪拼四上08各种图形的覆盖、分割、组合和剪开后再拼接的问题，可以从平移、翻转、对称性的角度去分析很多问题还需要依赖于精确的面积计算第05讲格点与割补四下09通过割补的办法来计算格点图形的面积，了解格点图形的面积公式计算较复杂的图形面积时可以借助构造格点阵，或直接进行恰当的分割与拼补第06讲直线形计算二五上11多边形的等积变换可以分割为三角形来处理同底（或同高）的三角形之间的面积倍数关系等于对应高（或对应底）之间的倍数关系，由此推导80、梯形被对角线分开后的线段的倍数关系利用容斥原理解决一些图形覆盖的问题第07讲圆与扇形五下10与圆和扇形的周长、面积相关的问题将一些对象进行平移、割补可帮助简化计算第08讲立体几何六上04各种涉及长方体、正方体、四面体等立体图形的表面积和体积的计算问题空间想象能力的培养沿某个方向投影的方法解决的实际问题较为复杂的与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题一般旋转体相关的基本概念圆柱、圆锥、圆台等立体图形的表面积和体积的计算问题与此相关联的立体图形切割、组合等问题第09讲几何综合一六上09需要添加辅助线，分割图形，添补图形，或者利用图形的翻转旋转对称性来解决问题的较复杂的几何问题第10讲几何综合二六81、下06复杂的图形问题，涉及几何图形的没计与构造可以初步接触平行线分线段成比例，以及三角形相似的相关性质【知识点1：长度和角度计算】n边形有n个内角，所有内角都小于180的n边形称作凸n边形；凸n边形的内角和为(n2) 180，外角和为360【例题1】每个外角都是相邻内角的的多边形边数是 边形。【例题2】小明自西向东行走，每走10米向南偏转15度，再走10米向南偏转15度，问走多少米后小明才回到出发点？ABCDEABCDE【知识点2：燕尾和共边】燕尾定理：如右两图所示，均有：【例题1】如图,在ABC中,DC=2BD,AF=FD.如果ABC的面积等于,那么阴影部分的面积为多少?OABDCE【例题282、】在ABC中BD：DC=2:1,AE：EC=1:3 求BO：OE。ABCDE【知识点3：金字塔和沙漏】如右图所示：ODCABOCDAB“金字塔”和“沙漏”：如右两图所示，如果AB与CD平行，那么：【例题1】如图，在ABC中，AD是AC的三分之一，AE是AB的四分之一，若AED的面积是2平方厘米，那么ABC的面积是多大？【例题2】图中的四边形土地总面积为52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？【知识点4：圆和扇形】对于复杂的不规则图形，需要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等转换成圆、扇形、弓形与83、三角形、正方形、长方形等规则图形。要点是熟练掌握花瓣和桌角的计算。【例题1】如图，大圆的直径为4厘米，求阴影部分的面积。 【例题2】如图，已知正方形ABCD的边长为2，以顶点A为圆心，AB为半径作 ，由AD的中点E，作EFAB，交BC于F，交 于G，再以E为圆心，ED为半径作 交EF于H，试求图中阴影部分的面积。（已知EG1.732，3.14）【知识点5：立体图形】【例题1】用棱长是1厘米的立方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？【例题2】如图是一个表面涂满红色的正方体，再它的面上等距离地切上三刀，共得到64个小立方体。问其中三面红的、两面红的、一面红的、没有一面红的各有84、多少块？ 【例题3】如图，一个正方体形状的木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米？【知识点6：格点和割补】【例题1】计算下图中各图形的面积：【例题2】下图是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积：【练习题】1、下图是一个零件的平面图,图中每一条最短线段均长5厘米.零件长35厘米,高30厘米,这个零件周长是多少厘米?35厘米30厘米2、如图，五角星的五个顶角之和为多少度？ 3、如图，ABCD是边长为9厘米的正方形，M，N分别为AB边与BC边的中点，AN与CM相交于点O，求四边形AOCD的面85、积是多少？4、如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC2DE，F是DG的中点。阴影部分的面积是多少？5、如图，BD、CF把矩形分为4块，红色部分面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米。问：绿色面积是多少平方厘米？6、图中ABCD是梯形，三角形ADE面积是1.8，三角形ABF面积是9，三角形BCF面积是27。那么阴影部分面积是多少？7、如图，四分之一大圆的半径为7，求阴影部分的面积，其中圆周率取近似值22/7。8、如图，4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心。如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？9、平面上有7个大小相同的圆，位置如图所示86、。如果每个圆的面积都是10，那么阴影部分的面积是多少？10、下图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴。已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？11、下图中是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，做成一种玩具它的表面积是多少平方厘米？12、如图68，用高都是1米，底面半径分别为15米、l米和05米的3个圆柱组成一个物体问这个物体的表面积是多少平方米？13、右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位). 14、如图，相邻格点之间的距离为187、厘米，右图阴影部分的面积是（）平方厘米。15、图中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形。求阴影部分的面积。16、如图，长方形被其内的一些直线划分成了若干块，已知边上有三块面积分别是13、35、49，那么图中阴影部分的面积是多少？第三章 数字谜培训要求：了解各年级学生各个层次所需掌握的知识，灵活运用相应知识点解题。培训内容：本章从一年级到六年级贯穿整个小学奥数学习，按照数学课本的顺序主要涉及填图（数阵图、幻方）和拆数（数字谜、填横式）两大部分。从低年级简单的拼拼凑凑解决简单的问题，到通过相应的方法找到问题的突破口从而解决较复杂的问题。填图拆数的解题方式的基本规律是：有层次的尝试、突破、尝试、突88、破直到解决问题知识体系：第01讲加减法填空格三上07利用竖式运算法则和推理，通过观察、判断、推理、尝试把较简单的加减法竖式算式中缺少的数填出第02讲乘除法填空格三上08利用竖式运算法则和推理，通过观察、判断、推理、尝试把较简单的乘除法竖式算式中缺少的数填出第03讲算符与括号三下04各种算式中符号的填入与修改问题在已知数之间添加运算符号与括号，求出结果或取最大、最小值的问题通过枚举、试算、顺推、逆推等方法解决算式的变化的问题第04讲数阵图初步三下08基本数阵图，包括封闭型、辐射型数阵图学会通过设字母找出数量关系的一般方法，经常以某处的重复次数作为突破口第05讲字母竖式四上04竖式中不同的字母或汉89、字分别替换出不同的数字，使算式成立的数字谜问题选择首位数字、个位数字或出现多个相同符号的位数作为突破口的一般方法利用相同符号代表相同数字的特性，不断发现和扩展已知信息第06讲横式问题四上05关于横式的填空格和字母破译问题，通常应用尾数分折、分情况试算、利用因数分解等第07讲数字问题四上07简单数字和数值为具体内容的数字谜问题例如由数字组成的多位数问题，数字在运算中的变化、数的分解、分组和排列等问题第08讲复杂竖式四下04重点是三位数及三位数以上的乘、除法，涉及小数乘、除法的竖式填空格问题补填空格与破译字母相结合的竖式问题，涉及较强推理能力的竖式问题对审题、选择突破口和试验求解三个步骤有较高要求90、，通过“破泽”提高推理能力和对运算法则深入、灵活的理解第09讲幻方与数阵图扩展四下09了解三、四阶幻方的构造在方格表中填入数值或符号，要求每行、每列及对角线上具有某种性质的幻方类型的数阵图问题，包括一些结构独特的数阵图问题第10讲数字谜综合一五上08略有综合性的数字谜问题特别是涉及分数、小数的各种类型的数字谜问题，包括竖式的补填、算式构造、小数的舍入与变化等等第11讲数字谜综合二五下08涉及质数与合数等概念，以及需要利用数的整除特征、分解质因数等数论手段的数字谜问题第12讲数字谜综合三六下01各种具有相当难度，求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题【知识点1：数91、阵图】知识点：数阵图中最重要的是中心数或者重复用的数字。每边和边数=所用数字之和+重复用的数字之和。每边和，边数、所用数字往往已知，再根据奇偶、整除等性质，得到重复用的数字。【例题1】最简单的数阵图：把1-7填入左面的图形中，请问要使得每条边上三个圆圈里的数相加的和都相等，请问中间的圆圈里有几种填法？如果每条边总和要求都是12，那么中心应该填几？【例题2】将自然数1、10、19、28、37、46、55分别填人右图中的七个方框中，使每条直线上的三数之和与每个圆周上的三数之和都相等那么圆心上的那个数应该填多少？ 【例题3】如图所示，要求在圆圈中分别填入9个连续自然数，使得每条线上若干个数的和都等于92、23。已知这9个自然数中包含6，且6已经填好，那么剩下的几个圆圈应该怎么填？691452863【例题4】图中立方体八个顶点处填入19中的8个不同数字，使得每个面上四个顶点处的数字和都等于k，而且k不能被19中未标出的那个数整除，那么k=_【例题5】下图中有五个正方形和12个圆圈，将112填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等。那么这个和是多少？【知识点2：幻方】性质1：3阶幻方的幻和=3中心数性质2：a=（h+f）2AFH【例题1】下图是一个四阶幻方，请将其补全：114712461611【例题2】在幻方中填入适当的数使得幻方中满足每行，每列，每条对角线上三个数的和相等。106893、97【例题3】下图为三阶幻方，求A A1995【知识点3：数字谜】加法减法注意高位：比如两个两位数加在一起和的百位一定是1。乘法注意：看积的首位和末位。注意是否有进位，和退位。【例题1】在下面算式的空格内各填入一个合适的数字，使算式成立.重点：注意和的高位。【例题2】请你把1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字分别填到图6-7所示的方框内，要求图中每个数位上的数字第二排比第一排大，第三排比第二排大问：这样的排列方法共有多少种？重点：分析是否进位，每一位三个方框之和都是9，没有进位999图6-7【例题3】图4-4是一个加法竖式，其中E，F，I，N，O，R，S，T，X，Y分别表示从0到9的不94、同数字，且F，S不等于零那么这个算式的结果是多少？【例题4】填算式重点：注意积的首位和末尾直接得到。【例题5】830竖式的商等于 重点：8是两位数，9是三位数。是120.【例题6】在方框中填入数字，使得竖式成立【例题7】一个自然数与19的乘积的最后三位数是321，求满足此条件的最小自然数。重点：19=321，列数字谜竖式，即可求得。【例题8】在下列乘法竖式中，每个不同的汉字代表09中不同的数字，求出它们使竖式成立的值重点：数字谜（数字谜-1）=0000。再用整除性质。【知识点4：填横式】【例题1】已知：，a、b、c、d、e、f、g为各不相同的自然数，则的最大值与最小值的差是多少？【例题2】请在95、下式中填入+和，使等式成立（不要求每两个数之间都填入符号，但不能填+和以外的符号）：1 2 3 4 5 6 7 8 9 9=1998 。重点：估算【例题3】请你将1-9这九个数字不重复的填入下面的方格中，使算是的结果最大+-=【例题4】下面算式中的“国运”、“奥运”、“强强”表示3个两位数，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，则“奥、运、国、强”所表示的四个数字的和是多少？（国运+奥运）强强=2002重点：分解质因数，2002=271113【练习题】1 下图的七个圆内填入七个连续自然数，使每两个相邻圆内的数之和等于连线上的已知数，那么写A的圆内应填入数字几？2 把1、2、3、496、5、6、7这7个数填入图中7个圆圈中，每个数只填一次满足 下面两个条件：1)三条直线上的3个数之和恰好构成一个三项的等差数列，且中间项为12：2)圆上的3个数的乘积是60；3 将数字16填入到上面算式的6个方框中，能得到最大结果是多少？4 从1、2、9中选出8个数填入下面算式的圆圈内，使得结果尽可能大，并求出结果。（）5 请将36的各个约数分别填入下图的方格表中，使得每行每列的各数之积均相等。6 在一个33方阵中放入9枚总价值为6元的硬币，每个方格放一枚。这些硬币的面值不是1元就是5角。摆放完之后，要求图中包含的每个22方阵中的硬币总和都相等，那么这个相等的和最大等于_元。7 （）有一个三位97、数，由a、b、c组成的所有三位数中，最大的三位数与最小的三位数的差恰好等于原来的三位数。求这个三位数是多少？8 在下列各式中，不同的汉字代表不同的数字，求出它们使竖式成立的值：909 相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么乘积等于 。10 、代表三个不同的数字，*号表示它所在的位置有数字，但并不一定都相同，那么乘积等于 。11 将图中空格内填入适当的质数数字，使得竖式成立，那么最终的算式为：_ * * * * * * * * * * * * *764012 .013 将下列除法算式补充完整14 （）在下图中的除法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么98、被除数DEFGF是多少？CBAABDEFGFBHAAGAAHIFIF01+1101015 如图所示的加法算式中，三角形纸片盖住的都是质数数字，正方形纸片盖住的都是合数数字，要使两个加数的差尽可能小，那么较大的那个加数是多少？16 如图的数阵是由于77个偶数排成的,其中20,22,24,36,38,40这六个由一个平等四边形围住,它们的和是180.把这个平行四边形沿上下,左右平移后,又围住了右边数阵中的另外六个数,如果这六个数的和是660.那么它们当中位于平行四边形左上角的那个数是( ).2 4 6 8 10 12 1416 18 20 22 24 26 2830 32 34 36 38 40 99、42142 144 146 148 150 152 15417 一个六位数乘以666667，所得结果的末八位数字是12112006，则原来的六位数是_18 如果一个四位数与一个三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同的数字组成的，那么这样的四位数最多有多少个？第四章 应用题培训要求：了解各年级学生各个层次所需掌握的知识，灵活运用公式及相应知识点解题。培训内容：本章按照数学课本的顺序主要培训应用题的初级概念；基本应用题，包括和差倍、鸡兔同笼、盈亏、植树与方阵、年龄、平均数、周期等问题的典型解法；复杂应用题，包括行程（钟表）、工程（牛吃草）、经济与浓度等问题的典型解法；针对五、六年级学100、生还着重强调了用比例和方程的思想解题。知识体系：第01讲基本应用题三上03学会应用题的审题和分析，掌握解题的一般方法本讲内容主要是逐次应用已知条件可以直接求得答案的简单应用题，包含有归一问题、简单倍数关系的问题第02讲和差倍问题一三上04学会和差、和倍、差倍问题的基本解题方法，掌握画线段示意图表示数量关系的分析方法第03讲鸡兔同笼问题一三上06典型鸡兔同笼问题及结构相同的类似问题，重点是假设法的应用第04讲盈亏问题一三上09本讲内容为基本盈亏问题，通常是有两个相似条件限制同一对象的应用题；学会通过比较进行分析的一般方法，恰当设定单位，求出具体数值第05讲和差倍问题二三下03较复杂的和差倍应用题101、通常有需要转化才成为较典型的和差倍形式的问题，两个对象通过两种倍数关系限制的变倍问题，涉及三个对象的问题第06讲鸡兔同笼问题二三下05较复杂的鸡兔同笼问题如果出现多个对象应该恰当分类组合，转化为两个对象再采用假设法第07讲间隔与方阵问题三下06首尾相接和首尾不相接的植树问题与上楼梯问题，摆成实心、空心的方阵或者其他阵形的问题第08讲周期问题三下07各种涉及事物循环变化的周期性问题，例如与年、月、日、星期或环形相关的周期性问题通过观察、试算，从简到繁发现规律，确定周期长度，有时通过改变周期起点使求解得到简化第09讲盈亏问题二三下09较复杂的盈亏问题，将其转化成简单情形第10讲和差倍问题三四上02102、涉及4个或4个以上对象，已知数量关系表现不明显，不便直接运用一般方法，对审题要求较高以及与其它知识相关的较复杂的和、差、倍问题第11讲还原问题与年龄问题四上03通过逆推法求解的还原类型的应用题把握年龄差不变的性质，结合和差倍关系解决的年龄问题第12讲行程问题一四上06行程问题及其相关基本概念；在直线上简单的追及与相遇问题第13讲平均数问题四下03掌握平均数的相关概念，关于权重平均数的计算问题，以两组数的平均数与它们的总平均数之间的关系为内容的相关问题，可转化成倍数问题的平均数问题第14讲行程问题二四下06关于多个对象的行程问题列车的相遇，追及，过桥问题第15讲行程问题三四下07直线上的折、返行103、程问题第16讲和差倍分问题五上03各种具有和差倍分关系的综合应用题，重点是包含份数的应用题恰当选取“1”份的大小，通常可以使得各个量都能用简单的份数关系表示出来或者把总量看作“1”份，直接用分数关系求解问题第17讲行程问题四五上04流水行船问题，掌握顺水速度、逆水速度与流水速度的关系环形路线上的行程问题本讲的行程问题会引入分数第18讲行程问题五五下03综合性较强的行程应用题较复杂的变速、转向等运动过程多变的行程问题，需要恰当选择关键点分段加以考虑第19讲工程问题五下04掌握工作总量、工作效率、工作时间的基本关系，类似于路程、速度、时间的关系较复杂的题型，有涉及“多人”的工程问题，以及运用工时与104、工效之间的转化求解的工程问题第20讲牛吃草问题与钟表问题五下09牛吃草、进水排水类型的工程问题掌握钟表问题里的相关知识，将问题转化成时针、分针、秒针的“行程问题”第21讲比例解应用题六上02运用“比”这个概念和表达方式处理倍数、分数等问题认识除法、分数、比例实质上是同一件事情的不同表示方法，但各有不同的用途第22讲浓度与经济问题六上03百分数相关的基本概念及应用方法，各种包含比例与百分数的应用问题溶液、溶质、浓度的概念和实际应用，可以灵活应用比例来求解一些浓度问题成本、利润、价格等基本经济术语以及它们之间的关系第23讲方程解应用题六上05一元一次方程的解法及解题的格式和要求二元一次、三元一次方105、程组的代入与加、减消元法一般列方程解应用题的方法、步骤和要求，包括如何恰当选取未知数，如何将已知条件转化为方程等第24讲行程问题六六上06各类复杂的行程应用题，灵活应用比例求解问题第25讲应用题综合一六下02复杂的行程与工程问题，注意这两类问题之间的联系和转化第26讲应用题综合二六下03包含各类知识的复杂应用问题【知识点1：应用题的基本介绍】简述：归一问题：“归”的含义为除法，“一”的含义是单位量，一般情况下可以直接求出题目里的单位量，然后进行求解；但有时需要考虑选取一个合适的单位量，避免除不尽的问题。如果单位量无法求出，那么可以考虑将单位量设为“1”份。【例题1】小明4个小时完成了24道题目106、，那么他7个小时可以完成_道题目；如果要完成96道题目需要_小时【例题2】工程队原计划用60人5天修好一条4800米的公路。而实际上增加了20人，且每个人每天都比原计划多修了4米，那么提前了 天修好公路【知识点2：和差倍应用题】简述：和倍问题：已知两个数的和与这两个数的倍数关系的应用题。注意和中“包含”什么，注意“几倍多几”、 “几倍少几”。 差倍问题：已知两个数的差与这两个数的倍数关系的应用题。注意差“对应”着什么。 和差问题：已知两个数的和与这两个数的差的应用题。 通过线段图来表示数量之间的关系。（将题中的数据体现到线段图上） 有时要将条件巧妙的转化成和倍、差倍、和差问题。 【例题1】书店107、去年和今年共售书380万册，今年售书量比去年售书量的2倍还多20万册，今年售书多少万册？【例题2】饲养场的白兔是黑兔的5倍，后来卖掉了10只黑兔，买回来20只白兔，现在白兔的只数是黑兔的7倍。问原来有黑兔和白兔各多少只？【例题3】. 甲、乙二人各有钱若干元。若乙给甲10元，则甲比乙多的钱是乙余下来钱数的5倍；若甲给乙10元，则二人的钱数正好相等。甲、乙二人原来各有多少钱？【知识点3：鸡兔同笼问题】简述：假设法 画线段图 画实物简图 注意恰当分组【例题1】.一只鸡有一个头2只脚，一只兔有一个头4只脚。如果一个笼子里关着的鸡和兔共有10个头和26只脚，你知道笼子里有几只鸡、有几只兔吗？【例题2】鸡108、兔同笼，共24只，兔子腿总数比鸡腿多54条，求鸡、兔各几只？【例题3】.犀牛、羚羊、孔雀三种动物共有头26个，脚80只，犄角20只。已知犀牛有4只脚、1只犄角，羚羊有4只脚、2只犄角，孔雀有2只脚。问犀牛、羚羊、孔雀各几只？【知识点4：盈亏问题】简述：在日常生活中常有这样的问题：一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。盈亏问题就是在已知盈亏的情况下来确定物品总数和参加分配的人数。解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系。盈亏问题的数量关系是：（1）（盈+亏） 每个单位两次分配差 = 单位数 （通过比较）（大盈小盈）每个单位两次分配差 = 单位数 109、总数相差数每份相差数=份数 （大亏小亏）每个单位两次分配差 = 单位数 （2）每次分的数量份数+盈=总数量 每次分的数量份数亏=总数量方法与难点：常用比较法。对于两个简单的相似的条件限制同一对象的基本盈亏问题，只要恰当设定单位，比较两种不同的做事方法，就能解出来。（读题的时候，注意分号。） 有时盈余数与不足数并不是直接给出，应把条件“重新整理一下”，先统一单位，把题目转变成易于求解的基本盈亏问题。 对于两个条件限制两个有关联的对象的复杂盈亏问题，难点是确定哪个量为单位。先想办法将两个对象的问题转化成一个对象的。对于看上去条件繁杂的，可以用“少数服从多数”，或“已知服从未知”的思想，将条件统一，110、转化成一种情形下的。【例题1】 几个好朋友想买一套2008北京奥运会吉祥物福娃毛绒玩具。如果每人出35元，则还缺40元；如果每人出40元，则买完福娃后，还剩10元。求有 个人？这一套毛绒玩具卖 元？【例题2】学校分配学生宿舍，如果每个房间住6人，则恰好少2间宿舍；如果每个房间住9人，则恰好空出2个房间。问学生宿舍有 间？住宿学生有 人？【例题3】夏令营读书活动小组在学校图书馆借来的科技书是故事书的2倍。如果分科技书看，平均每人看6本科技书，则余12本；如果分故事书看，每人看4本故事书，则差3本。读书活动小组有 人？借来的科技书 本？故事书 本？【知识点5：植树与方阵】简述：植树问题不论是封闭还111、是不封闭情况下植树问题都仅仅涉及到四个量：点数，段数，间距，全长。其中点数和段数有直接的计算关系，而全长总是等于段数间距也是植树问题中隐藏的一个既定条件，解决植树问题就要从这四个基本量出发，明确题目属于上述那种情况，进而应用公式求解。方阵顾名思义，就是正方形之阵，也就是说一个完整实心的方阵每行每列的数量都相等。因此，有方阵相邻两层外层每条边比内层每条边多2；由于方阵中每层的顶点都被重复计算了两次，所以方阵每层的数量=每边数量44，这样，方阵相邻两层外层比内层多24=8；一个实心方阵的总数量=最外层每条边数量最外层每条边数量。【例题1】640人排成8层的空心方阵。 问：最外层排 人？ 最内层排 112、人？ 最外层每边排 人？ 最内层每边排 人？ 如果在空心方阵的外边增加一层，需要增加 人？ 640人排成一个尽可能大的实心方阵后，还剩 人？【例题2】456名战士排成一个8层空心的正六边形阵，根据你寻找的规律计算： 问：最外层排 人？ 最内层排 人？ 最外层每边排 人？ 最内层每边排 人？ 如果在空心正六边形阵的外边增加一层，需要增加 人？【知识点6：周期问题】【例题1】2008年8月8日是星期几？【例题2】从2007年6月16日算起后的第2007天是哪一天？星期几？（6月16日算第一天）。【知识点7：还原与年龄问题】简述：熟悉年龄问题的基本常识：两人之间的年龄永远不变，会将其转化到解差倍问题113、的方法上。所谓还原问题，即是要学会倒着想问题，从反面思考。【例题1】儿子现在的年龄为5岁，当儿子长到爸爸现在的年龄时父子俩人的年龄和为85岁，求爸爸现在多少岁？【例题2】 把一个数加上1、减去2、乘以3、除以4，称为对该数进行一次操作，小明把某自然数操作两次后的结果为15，那么原来那个自然数是几？【知识点8：平均数应用题】简述：定义：平均数=总和项数。利用基准数法求平均数，平均数=基准数增减量项数。用基准数法求平均数可以分成三步：第1步找基准数；第2步，求增减量；第3步，利用上面的公式求出平均数。通常可以取某一个数作为基准数；或者取部分数的平均数作为基准数；或者取原来的平均数作为基准数去计算新114、的平均数；特别的，如果取平均数做为基准数，增减量为0。两组数组内的平均数和总平均数之间的关系。项数的倍数关系等于差的倍数关系。总平均数与项数较多的那一组平均数更接近。【例题1】小明有30个苹果，小红有16个苹果，如果要让两个人的苹果数相等的话，小明应该给小红多少个？【例题2】甲班有25人，乙班有50人，如果甲班的平均分为84分，乙班的平均分为90分，那么两个班的总平均分是多少分？练习题一：13名工人6小时完成了72个零件。（1）9名工人12小时可以完成_个零件；（2）25名工人8个小时可以完成_个零件；（3）要在15小时完成1080个零件需要_名工人 2.有货物108件，分成四堆存放在仓库时，115、第一堆件数的2倍等于第二堆件数的一半，比第三堆的件数少2，比第4堆的件数多2。问第三堆存放_件？3. 一仓库有煤若干千克，三天用完，第一天用去2/5，第二天用去余下的2/5，第三天用去的比前两天总和的少18千克，那么原来一共有煤_千克；4. 鸡兔同笼，鸡比兔子多45只，兔子腿总数比鸡腿总数多90条，求鸡有_只？5. 有一堆桃，第一个猴子拿走了这堆桃的一半加半个桃子，第二个猴子又拿走了剩下桃的一半加半个，第三个猴子拿走了最后剩下的桃的一半加半个，桃子正好被拿光。问：这堆桃子原来有几个？6爸爸在过50岁生日时，弟弟说：“等我长到哥哥现在的年龄时，那时我和哥哥的年龄之和正好等于那时爸爸的年龄。”那么116、哥哥现在多少岁？7 2007个小朋友站成一排，从左到右1至4报数，从右到左1至5报数，请问有没有既报2又报5的同学？如果有请问_个？8 长3米的木棍，从一端开始，先30厘米一段，再10厘米一段，这样长短交替锯成小段，可锯成30厘米长的 段？若每锯一段需8分钟，锯完一段休息2分钟，全部锯完需要 分钟？9.几个人加工一批零件，如果每人加工5个，则还有3个零件没人加工；如果其中2人每人加工4个，其余的人每人加工6个，恰好完成任务。这批零件有 个？10.甲、乙、丙、丁、戊、五个人去体检，甲89斤，乙99斤，丙93斤，丁95斤，戊的体重比5人的总平均体重要轻2.4斤，求戊的体重是_？11甲、乙、丙、丁为117、四个数，甲、乙和为56、乙、丙和为60、甲、丙和为44，四个数总和是丁的5倍，那么，甲、乙、丙、丁各是_、_、_、_。12（）一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地工作量是乙工地工作量的倍，上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有的人去甲工地，其他人到乙工地，傍晚时，甲工地工作已做完，乙工地还需4名工人再做1天，那么这批工人一共有_人？13妈妈去买水果，若她用带的钱买苹果13斤，则还剩31元；若她想用带的钱买9斤芒果，那么就缺2元。两种水果每斤的价格相差5元。求苹果每斤 元？14（）学校组织三年（2）班学生去郊游，下午进行一个寻宝的游戏。如果有5个人每人找到3个宝，其余的118、人每人找到4个宝，则还有5个宝无人发现；如果有4个人每人找到6个宝，其余的人每人找到3个宝，则宝物全被找出，最后还有一个人两手空空，一个宝也没有。问有 个学生？有 个宝？15（）张明、李强两人进行射击比赛，规定每中一发得20分，脱靶一发扣12分，两人各打了10发，共得208分，其中张明比李强多64分那么张明射中_发，李强射中_发。16大桶、小桶共80个，每个大桶可装水25千克，每个小桶可装水15千克，都装满水后，大桶比小桶共多装600千克。大桶有 个，小桶有 个？17甲、乙、丙3人各有糖若干，甲向乙要来一些糖，使自己的糖数增加1倍；乙接着向丙要来一些糖，使自己剩下的糖数增加1倍；丙再向甲要来一119、些糖，使自己剩下的糖数也增加1倍。现在甲的糖数是丙的3倍，乙的糖数是丙的2倍。如果已知开始时丙有30粒糖，那么乙最初有_粒糖18甲对乙说：“我在你这么大时，你的年龄是我今年年龄的一半”，乙对甲说：“我长到你这么大时，你的岁数比我今年年龄的2倍少7岁”，那么今年甲_岁，乙_岁。19（）有若干个自然数，它们的平均数为2005。如果去掉一个最大的自然数，那么它们的平均数为2004；如果去掉一个最小的自然数，那么它们的平均数为2010。请问：这些自然数最多有多少个？此时其中最大的自然数是多少？注意，0也是自然数。20（）某班有55人，在一次数学考试后，按成绩排了名次，结果，前20名的平均分比后35名的120、平均分多了11分。一个同学对于平均分的概念不清楚，他把前20名的平均分加上后35名的平均分数，再除以2，错误的认为这就是全班的平均分数。这样做，全班的平均成绩是提高了，还是降低了？请算出提高或降低了多少分？【知识点9：行程问题】简述：走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：距离 走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；速度 在单位时间内（例如1小时内）行走或移动的距离；时间 行走或移动所花时间.这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度时间 显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量，这是我们在小学课堂中经常解决的问题。同时对于三者之间的关系，我们还可以发现：1. 速121、度时间=路程，这个公式是行程问题中最为基本的关系，必须熟练掌握。特别的：当运动的速度相同时，时间的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的时间相同时，速度的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的路程相同时，时间的倍数关系等于速度的倍数关系，但注意时间长的速度慢，速度快的时间短。2. 速度和时间=路程和；速度差时间=路程差是基本公式的两个变形，分别在反向运动和同向运动中得到运用。3. 学会解决参与运动的对象自身具有长度的行程问题。典型的问题有火车与人的相遇问题；火车与人的追及问题；火车与火车的相遇问题；火车与火车的追及问题主要有以下两个办法：第一，画图来理解题意，弄清楚在题目中路程和与路程差与车身长度122、的关系。例如：火车与人的追及问题中，人的路程+车长=火车的路程。第二，将自身具有长度的对象转化成一个点，也就是把一条线段看成一个点。例如：可以把运动的火车看成是车头或者车尾在运动，而忽略本身的长度。4. 学会解决多个对象之间的行程问题，主要的思路是将多个对象之间的运动转化为两个对象之间的行程问题，特别需要注意已知条件有联系的两个对象，从中多找一些隐含信息。5. 学会解决折返问题的方法，思路是将一个折返问题看成是一个相遇问题和一个追及问题的综合。解题时利用下面的规律，将一个折返问题拆成一个相遇问题和一个追及问题。规律：假设甲和乙分别从A、B两地相对出发，甲的速度比乙快，两人在A、B两地之间来回折123、返运动。当甲和乙的路程和为1个全长时，两个人第1次迎面碰到；当甲和乙的路程和为3个全长时，两个人第2次迎面碰到；当甲和乙的路程和为5个全长时，两个人第3次迎面碰到；。当甲和乙的路程差为1个全长时，甲第1次追上乙；当甲和乙的路程差为3个全长时，甲第2次追上乙；当甲和乙的路程差为5个全长时，甲第3次追上乙；。甲乙AF 时刻：丙出发 时刻：甲和乙相遇丙晚出发15分钟CD 时刻：甲和丙相遇BEG7分钟7分钟7分钟63分钟63分钟15分钟15分钟 时刻：丙追上乙最后，特别注意验算是否有迎面碰到和追上两个时刻重叠的情况。6. 画线段图是解行程问题特别重要的辅助方法，很多隐含的关系在图中就变得比较直观了。画124、图的时候一定要注意标出每一个关键的时刻，比如两人相遇的时刻，追上的时刻，折返的时刻，变速的时刻以及题目中提到的特殊时刻。这些时刻通常可以利用一些首尾相接的带箭头的线段来表示，并且为每一个时刻标出序号。例如右图，这个图形是行程问题之二例题2中例2的线段图。【例题1】（第16届迎春杯邀请赛试题）甲、乙二人从、两地同时出发相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米。出发一段时间后，二人在距离中点120米处相遇。如果甲出发后在途中某地停留了一会儿，二人还将在距中点120米处相遇。问：甲在途中停留了多少分钟？【例题2】甲、乙二人按顺时针方向沿着圆形跑道练习跑步，已知甲跑一圈要12分钟，乙跑一圈要15分125、钟，如果他们分别从圆形跑道直径的两端同时出发，那么出发后多少分甲追上乙？【知识点10：工程问题】简述：工程问题基本关系式：工作量=效率时间；行程问题基本关系式：路程=速度时间。工程问题和行程问题类似，密切相关。行程问题中的相遇和追及问题在工程问题中也有相应的例子。解工程问题的时候可以利用所有解行程问题的方法，例如：利用比例；设多份；累加与比较；画线段图等等。或者可以考察一个工程问题如何变化为相应的行程问题，从（4而找到解题的思路。【例题1】一项工作甲乙两个人合作12天可以做完，如果由甲先做3天，然后再由乙做8天，一共可以完成全部工作的5/12，那么如果由甲和乙单独做这项工作，分别需要_和_天；126、【例题2】某工程先由甲单独做24天，再由乙单独做15天即可完成；如果甲、乙两人合作，需要20天完成。现在甲乙先合做10天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做_天【知识点11：时钟与牛吃草问题】 简述：“时钟问题”的基础是“环形运动问题”，“环形运动问题”和我们之前学习的“直线运动问题”不同在于它具有周期性。当然时钟问题也就具有周期性，大家可以注意到钟表都是12或24小时经过一次循环。而且，在时钟问题里面，所有的速度都是固定的！那时针的速度是几米每秒？分针的速度又是几米每秒？呵呵，在时钟问题里面我们就不能用“米”来做长度单位了，大家想想用什么做单位好呢？【例题1】有三片牧场，场上草长得一样密，127、而且长的一样快。它们的面积分别是5、15和25公顷。已知12头牛4星期吃完第一片牧场的草，21头牛9星期吃完第二片牧场的草，那么_头牛12星期才能吃完第三片牧场的草；【例题2】某时钟现在显示8点整，那么经过_分钟，时针与分针第一次重合；再经过_分钟，时针与分针第二次重合【知识点12：比例解应用题】简述：掌握好商不变的性质和乘积不变的性质，理解正比例和反比例的概念。学会如何在应用题中将份数和比例关系结合起来，利用份数表现数量之间的比例关系。画好线段图解行程问题是重要的辅助手段。【例题1】甲的速度和乙的速度之比为5:7，乙的速度为丙速的2/3。三人从同一地点出发向东行进，甲先出发，乙第2出发，丙最128、后出发。经过了一段时间乙追上了甲，此时丙也恰好追上甲。如果甲总共比丙多走了33分钟，那么乙一共走了_分钟；【例题2】男、女两名田径运动员在长110米的斜坡上练习跑步（坡顶为B，坡底为A）。两人同时从A点出发，在A，B之间不停地往返奔跑。已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米。那么两人第二次迎面相遇的地点离A点_米；距离第五次迎面相遇的地点_米；【知识点13：浓度与经济问题】简述：浓度问题基本关系式：掌握浓度与平均数的联系，可以看成每100克溶液中含有多少溶质。主要方法：直接利用定义进行计算；基准数法；跷跷板原理。【例题1】浓度为30的129、盐水300克，另有浓度为75的盐水450克，将它们混合之后浓度是_%；浓度为30的盐水450克，要配制成45的盐水，需加入浓度为75的盐水_克；【例题2】现在有一些食盐水溶液，加了一满杯水之后浓度变为15%，再加同样多的水后浓度变为12%，那么再加入同样多的水之后，食盐水的浓度变为_%；【知识点14：列方程解应用题】简述：一元一次方程的概念和解法。二元一次，三元一次方程的概念和解法：代入法和消元法。【例题1】小明计划按照一定的效率做一批零件，如果每小时多做2个那么可以提前8小时做完；如果每小时少做2个那么需要延长工作时间12小时。求一共有多少个零件？【例题2】有两堆石头，如果从第一堆中取出80130、块石头放进第二堆，那么第二堆的石头比第一堆多一倍；如果从第二堆中取出一些石头放进第一堆，那么第一堆的石头比第二堆多6倍。则第一堆中最少可能有多少块石头？练习题二：1.9点23分时，时针和分针的夹角是_度（小于180度的那个角）2有甲、乙两个容积相同的空立方体水箱，自它们的侧面上分别有两个排水孔A和B。A孔和B孔与底面的距离分别是水箱高度的5/6和一半，而且排水的速度相同。现在以相同的速度一起给两个水箱注水，并通过管道使A孔排出的水直接流入乙箱，这样经过70分钟后，甲、乙两水箱同时注满。如果用同样的速度单独给乙箱注水，那么从空箱开始需要_分钟才能把乙箱注满3.甲、乙两个人分别加工A、B两堆零件，131、零件的数量相同。由于开始的时候不熟练，两人用比较低的效率来加工零件。甲完成工作量一半的时候将效率提高1/3，乙完成工作量一半的时候将效率提高1倍。工作一段时间后，两人加工零件的总和恰好等于一堆零件的总数；此后乙又加工了30个零件正好完成了B堆的1/2，这时甲正好完成了A堆的2/3。那么当甲完成任务的时候，乙加工了_个零件？4. A、B两辆汽车同时从甲、乙两站相对开出，两车第一次在距离甲站32公里处相遇。相遇后继续行驶，各自到达乙、甲两站后立刻返回。第二次在距甲站64公里处相遇，求甲、乙两站相距_公里？5.快、中、慢三车同时从甲地出发追赶前方的骑车人，分别用6分钟，12分钟，20分钟追上，已知快132、车比中车快4千米每小时，求中车比慢车每小时快_千米？6. 在一个沙漠地带，汽车每天行驶200千米，每辆汽车载运可行驶24天的汽油。现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发，并在完成任务后，沿原路返回。为了让甲车尽可能开出更远的距离，乙车在行驶一段路程后，仅留下自己返回出发地的汽油，将其他的油给甲车。那么甲车所能开行的最远距离是_千米；如果乙车载运可行驶48天的汽油，那么甲车所能开行的最远距离是_千米；7.甲、乙两班学生要到离校60千米的营地，只有一辆汽车，一次只能坐一个班的学生为尽快到达营地，现在甲班先坐车，乙班步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后继续步行，汽车则立即返回接在途中步行的乙班学生如果133、甲班学生的步行速度是每小时6千米，乙班学生的速度是每小时4千米，汽车速度是甲班步行速度的6倍，那么汽车应在出发后_千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达；8.两种浓度不同的溶液，如果第一种取出2升，第二种取出3升，那么混合后得到的是浓度为36%的混合液；如果第一种取出4升，第二种取出5升，那么混合后得到的是浓度为16/45的混合液；那么第一种溶液的浓度是_%；9.客车和货车同时从A、B两地出发相向而行，货车每小时行60千米，结果两车在距离中点48千米处相遇。如图1，如果在距离A地80千米的C地建一个加油站，使得客车经过加油站后速度提高一倍，则客车经过加油站2小时后与货车恰在中点处相遇。在没有134、加油站的时候，客车经过C地后多少小时才与货车相遇？A、B两地相距多少千米？ACB图110（）一辆车从甲地开往乙地。如果车速提高20%，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达。那么甲乙两地相距_千米？ 11.（）一辆汽车按计划速度行驶了1小时，剩下的路程用计划速度的继续行驶，到达目的地的时间比计划的时间迟了2小时。如果按计划速度行驶的路程再增加 60千米，那么到达目的地的时间比计划时间只迟1小时。问：计划速度是_？全程有_千米？12现有A,B,C,D四个小朋友，其中A,B在学校，C,D在公园，他们同时出发相向而行，20分钟后，A,C相135、遇了，又过了5分钟后，A又遇到了D,又过了5分钟，C遇到了B,请问：再过_分钟D会遇到B?13. 甲、乙二人按顺时针方向沿着圆形跑道练习跑步，已知甲跑一圈要12分钟，乙跑一圈要15分钟，如果他们分别从圆形跑道直径的两端同时出发，那么出发后_分甲追上乙？14小马虎上学忘了带书包，爸爸发现后立即骑车去追，把书包交给他后立即返回家。小马虎接到书包后又走了10分钟到达学校，这时爸爸也正好到家。如果爸爸的速度是小马虎速度的4倍，那么小马虎从家到学校共用_时间？15甲、乙两班学生到离校29千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同136、时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生如果甲班学生的步行速度是乙班学生的2倍，汽车速度是甲班步行速度的7倍，那么汽车应在距飞机场_千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场？16（）一项工程，甲先做几天后由乙接着做，当工程进行到一半时丙来帮忙，直到工程进行到5/6时才离开，结果正好按照计划完成该工程，并且乙做了工程总量的一半。如果中间丙没有来帮忙，将会比计划推迟5天完工；如果全部由甲完成该工程，可以提前9天完工。如果乙的工作效率是丙的3倍，那么按照计划应该用_天完成该工程17一项工程由甲乙两人合作恰好可以在规定的时间内完成。如果甲的工作效率137、提高20%，那么只需要用规定时间的90%就行。如果乙的效率降低了25%，那么就要推迟1天才能完成任务。那么规定的时间是_天18甲乙丙三人加工一批零件，先由甲乙合作10天完成全部工作的三分之一；接着乙丙两人合作18天又完成了全部工作的三分之一；最后甲丙两人合作15天做完剩下的工程。如果三个人同时工作，那么做完全部零件需要_天19在一个水箱的中间高度有两个排水管，顶上有一个进水管，如果关闭两个排水管，15分钟可以灌满水箱；如果打开一个排水管，18分钟可以灌满水箱；那么如果如果打开两个排水管，_分钟可以灌满水箱20（）美术展9点开门，但早有人来排队等候入场，以第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一138、样多。如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就没有人排队，那么问第一个观众到达的时间是8点几分？第五章 数论培训要求：掌握数论方面的知识和方法，了解整个数论部分的知识体系。培训内容：数论部分的基础知识和常用的解题方法、思路。知识体系：第01讲整除五上05熟练掌握能被2、3、4、5、8、9、11整除的性质，并了解这些性质的来源学会用筛选法找质数，发现一些和数论有关的问题第02讲质数与合数五上06找出质数的办法，与质数、合数有关的一些构造思想通过分解质因数求解整数问题第03讲约数与倍数五下05约数个数与约数和的计算若干个数的最大公约数与最小公倍数的问题，以及他们之间的139、关系分数的最大公约数与最小公倍数问题第04讲余数五下06找出求余数与整除的关系，利用一些特征求余数掌握物不知数问题的简单解法，用余数的观点理解一些数论定理第05讲进位制五下07进位制的概念、四则运算法则及整数在不同进位制之间的转化，利用进位制解决数论以及组合问题其重点各种进制与十进制之间的配合第06讲不定方程与整数分拆六上07二元、三元不定方程的解法，一般采用枚举法、余数法与不定方程相关的整数分拆问题第07讲数论综合一六上08整除，质数与合数，约数与倍数，余数等相关的数论知识；学习符号 与 的定义以及相关的运算问题第08讲数论综合二六下04各种利用数论知识来证明的组合问题，其中重点是奇偶分析，140、整除的应用第09讲数论综合三六下05综合性较强的数论练习，结合数论知识来解决的组合问题或者应用问题【知识点1：数的整除】自然数表示法：=100a+10b+c ，=1000a+100b+10c+d=100+ 整除的基本性质整除性质 如果c|a、c|b，那么c|(ab)。 如果bc|a，那么b|a，c|a。 如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 如果c|b,b|a,那么c|a. a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。数的整除特征：整除数特 征2末尾是0、2、4、6、83各数位上数字的和是3的倍数5末尾是0或59各数位上数字的和是9的倍数11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者141、之差是11的倍数4和25末两位数是4（或25）的倍数8和125末三位数是8（或125）的倍数7、11、13末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数被合数整除：把这个合数写成几个互质数乘积的形式，分别被这几个数整除。比如225=925。【例题1】在“2579这个数的内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_.【例题2】已知一个五位数691能被55整除,所有符合题意的五位数是_.【例题3】一个六位数2356是88的倍数,这个数除以88所得的商是_或_.【例题4】下面一个1983位数333444中间漏写了一个数字(方框),已知这 991个 991个个多位数被7整除，那么中间方框内的数142、字是_.【知识点2：质数与合数】质数的基本性质、特点分解质因数【例题1】将8个数9、36、63、65、55、78、75、154分成两组，使得每组4个数，且每组的乘积相等；_、_；（9、78、75、154）【例题2】三个质数的乘积恰好等于它们和的17倍，这三个质数是_、_、_；（3/7/11、2/13/11）【例题3】找出7个连续的合数【例题4】两个数的和是107,它们的乘积是1992,这两个数分别是_和_.【例题5】把232323的全部质因数的和表示为,那么ABAB=_.【知识点3：约数与倍数】分解质因数的方法，掌握约数个数和约数和的求法和具体意义。设自然数n的质因子分解式如n= p1 p2.143、pk那么：n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1)n的所有约数和：（1+P1+P1+p1）（1+P2+P2+p2）（1+Pk+Pk+pk）最大公约数和最小公倍数的求法。短除法，分解质因数法，辗转相除法。分数最小公倍数和最大公约数的求法。约数与倍数的相关性质：两（多）个数的公约数是它们最大公约数的约数；两（多）个数的公倍数是它们最小公倍数的倍数；。【例题1】分数、的最大公约数是_；最小公倍数是_；。【例题2】180一共有_个约数；这些约数的和是_；720有_个奇约数；这些奇约数的和是_；【例题3】有12个约数的最小数是多少【例题4】两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是5144、40。这样的自然数一共有_组；【知识点4：余数问题】余数的特征：2，3，5，7，9，11，13，4，8，25，125。同余定理 同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为ab(mod m) 若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。 两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。韩信点兵问题【例题1】一个三位数，被17除余5，被18除余12，那么它可能是_；【例题2】一个四位数，被131除余112，被132除145、余98，那么它可能是_；【例题3】1）今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 2）一个数除以7余3，除以11余7，除以13余4，符合此条件的数最小是_；如果它是一个四位数，那么最大可能是_；【例题4】天之后是星期_；这个数的个位数字是_；【例题5】100个7组成的一百位数,被13除后,问：(1)余数是多少？(2)商数中各位数字之和是多少？【知识点5：进位制】二进制的加减乘除运算二进制与十进制的互化二进制与其它进制间的互化【例题1】计算下列结果（仍然用2进制表示）：（1）（2）（3）【例题2】计算下列结果（仍用二进制表示）：（1）（2）【例题3】计算下列结果（仍用二146、进制表示）：（1）（2）【例题4】计算（结果仍用二进制）：（1）（2）（3）【例题5】把下列二进制数写成数码与计数单位乘积的和的形式，并且在十进制下算出这些数的大小：(1)(2)(3)(4)【知识点6：不定方程】不定方程的一般解法，列不定方程解应用题【例题1】判断下列方程是否有整数解：（1）2x-4y=81 （2）5x+10y=24【例题2】求方程2x+5y=24的自然数解【例题3】今有公鸡每只五个钱,母鸡每只三个钱,小鸡每个钱三只.用100个钱买100只鸡,问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?【例题4】如果在分数的分子分母上分别加上自然数a、b,所得结果是,那么a+b的最小值等于_ .【知识点7147、：数论综合】完全平方数性质平方差： A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。 约数个数为3的是质数的平方。质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。平方和。数论解题的常用方法：枚举、归纳、反证、构造、配对、估计【例题1】若a10，是正整数，求所有满足条件的a的总和是_(258)【例题2】若，那么=_，=_(181.6，19.46)【例题3】一个自然数有15个约数，它乘以2006之后最多可能有多少个约数？最少可能有多少个约数？48，120【例题4】求2520有多少个奇约数，并求这些奇约数之和是多少？12个，624【例题5】已148、知，满足这样条件的共有多少组？ 6*12=72组【例题6】A=，请问A除以9的余数是多少？A是否为一个平方数，为什么？8【练习题】1、40只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼子中,共有26个头和298只脚,若40只脚的蜈蚣有1个头,那么3个头的龙有 只脚.2、8888乘以6666的积，除以7余数是_. 50个8 50个63、将下列十进制数化为二进制数：（1）（2）4、将下列各数化为十进制的数：（1） （2）（3）5、求证：能被7整除6、 一个两位数除以7、8、9的余数之和为20，请求出所有这样的两位数。7、 求有多少个不大于2006的四位数，使得。8、 求除以9、11、99、101、999、100149、1、13和91的余数分别是多少；9、 5位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验:只有编号连续的二位同学说得不对,其余同学都对,问:(1)说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请找出这个数.10、已知a与b的最大公约数是12,a与c的最小公倍数是300,b与c的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a,b,c共有多少组?(例如:a=12、b=300、c=300，与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组) 11、求12150、3456789101112199200除以9的余数是_；第六章 计数培训要求：了解各年级学生各个层次所需掌握的知识，灵活运用公式及相应知识点解题。培训内容：本章按照数学课本的顺序主要培训加法原理、乘法原理、排列组合等概念；以及几何图形当中涉及到的计数问题。 知识体系：第01讲枚举法三上10掌握枚举的一般方法，解决整数的分柝、数字的排列与选取、几何图形剪拚等相关计数问题注意到有序并按规律进行，做到不重不漏第02讲枚举法与加法原理三下10学会分类枚举，理解加法原理的含义对于复杂的分类计数情形，找出每类依次变化的规律，并结合一些数列求和的办法进行计算第03讲加法原理与乘法原理四上10掌握两个原理的基151、本概念，并能够将它们明确区分学会把简单的实际问题抽象成基本的分类或分步问题，并初步解决分类与分布混合出现的问题第04讲排列与组合一四下10了解排列、组合公式的来历，并能够将它们的含义加以区分，掌握排列、组合公式的具体计算直接应用排列、组合的方法解决一些典型问题第05讲排列与组合二四下11进一步理解排列组合的意义，熟练掌握这种有力的计数工具综合运用分类与分步的思想、排列与组合的公式去解决较复杂的问题第06讲包含与排除五上09涉及互相重复的两类或三类的计数问题画简单的文氏图帮助分析，掌握容斥原理相关概念并合理应用第07讲几何计数五上10计算格表图形中长方形或正方形等不同形状的个数，灵活应用已学的计152、数方法涉及其他各种不同的图形计数，可以恰当分类，并利用图形的对称性进行简化如果计算特殊部分的图形个数，往往会用到包含与排除的想法第08讲计数综合一五下11涉及整数相关知识，具有数字或数阵图形式的计数问题，综合运用加法与乘法原理、排列与组合公式，并注意发现对称性来简化计算第09讲计数综合二六上10掌握递推计数的办法，将关键的己知数据看作变量，得到一系列的结构相同的计数问题，找到这些问题的结果之间的联系第10讲计数综合三六下07理解对应法的思想，建立起所考察对象与另一类对象之间的联系，通过对后者的计数而得到答案与几何图形相关的复杂计数问题第11讲计数综合四六下08综合计数问题，难度较大的竞赛题【知153、识点1：加法原理与枚举法】加法原理与枚举法如果完成一件事情有n类方法，而每一类方法中分别有m1，m2，mn种方法，而不论采用这些方法中的任何一种，都能单独地完成这件事情，那么要完成这件事情共有N=m1+m2+mn 种方法。这就是加法原理，也是利用分类法计数的依据。而在分类计数的过程中，往往要把各类方法中的总的数量加以枚举，因此，加法原理常和枚举法结合运用。所谓枚举法，就是把所要求计数的所有对象一一列举出来，最后计算总数的方法。运用枚举法进行列举时，必须注意无一重复，也无一遗漏。【例题1】现有1分、2分和5分的硬币各四枚，用其中的一些硬币付2角3分钱，一共有多少不同的支付方法？【例题2】在下图中154、，从A点沿实线走最短路径到B点，有多少种走法？BA【例题3】小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上10级台阶共有多少种不同的登法？如果每次可登1至3级台阶呢？【知识点2：乘法原理】如果完成一件事必须分n个步骤，而每一个步骤分别有m1，m2，mn种方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种方法。这就是乘法原理，它是分步法的依据。乘法原理和加法原理被称为是计数的基本原理。我们应注意它们的区别，也要注意二者的联合使用。利用乘法原理解决一些较难问题时，一定要注意各个步骤的先后次序的选择。【例题1】 下图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现155、一个棋子问：共有多少种不同的放法？【例题2】用红蓝两色来涂右上图中的小圆圈，要求关于中间那条竖线对称。问共有多少种不同的涂法？【例题3】今有长度分别为1厘米、2厘米、3厘米9厘米长的木棍各1根（规定不许折断）从中选取若干根组成正方形，可有多少种不同的方法。【知识点3：排列组合】一、排 列在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法。这就是排列问题。在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关一般地，从n个不同的元素中任取出m个（mn）元素，按照一定的顺序排成一列叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。从n个不同元素中取出m个（156、mn）元素的所有排列的个数，叫做从【例题1】 【例题2】幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？【例题3】幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少种不同的坐法？ 【例题4】有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时3人站成一排） 二、组合日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等.这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题.一般地，从n个不同元素中取出m个（mn）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从157、n个不同元素中取出m个元素的一个组合.由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合.从n个不同元素中取出m个元素（mn）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作.【例题5】计算：【例题6】 从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，组成一道两个一位数的乘法题，问：有多少个不同的乘积？有多少个不同的乘法算式？【例题7】 在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的直线段，三角形，四边形？【例题8】某班要在42名同学中选出3名同学去参158、加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法？【例题9】有大小相同，颜色分别为红、绿、蓝三种球各7个混在一个袋子中。若从中取出7个球共有多少种不同的取法？三、综合应用前面我们已讨论了加法原理、乘法原理、排列、组合等问题.事实上，这些问题是相互联系、不可分割的.例如有时候，做某件事情有几类方法，而每一类方法又要分几个步骤完成.在计算做这件事的方法时，既要用到乘法原理，又要用到加法原理.又如，在照相时，如果对坐的位置有些规定，那么就不再是简单的排列问题了.类似的问题有很多，要正确地解决这些问题，就一定要熟练地掌握两个原理和排列、组合的内容，并熟悉它们所解决问题的类型特点.159、【例题10】 国家举行足球赛，共15个队参加.比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7个队.各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）.然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军.问：共需比赛多少场？如果实行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？【例题11】在一个半圆周上共有12个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个 三角形？四边形？【例题12】 甲、乙、丙、丁4人各有一个作业本混放在一起，4人每人随便拿了一本，问：甲拿到自己作业本的拿法有多少种？恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？至少160、有一人没有拿到自己作业本的拿法有多少种？谁也没有拿到自己作业本的拿法有多少种？1、运用两个加法原理和乘法原理时要注意：抓住两个基本原理的区别，千万不能混.不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数.不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数.在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的.2、运用排列与组合时要161、注意：排列与组合都是从若干个元素中选出一些元素，共有多少种选法的问题，其中排列要求选出的这些元素有顺序要求，而组合没有顺序要求。【知识点4：包含与排除】集合通常用大写的英文字母A、B、C、表示。构成这个集合的事物称为这个集合的元素。如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A的一个元素。又如任何一个自然数都是集合B的元素。像集合B这种含有无限多个元素的集合称为无限集合。像集合C这样含有有限多个元素的集合称为有限集合。有限集合所含元素的个数常用符号|A|、|B|、|C|、表示。记号AB表示所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合。就是右边示意图中两个圆所覆盖的部分。集合AB叫做集合A与集合B162、的并集。“”读作“并”，“AB”读作“A并B”。设集合A=1，2，3，4，集合B=2，4，6，8，则AB=1，2，3，4，6，8。元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只写一个。记号AB表示所有既属于集合A也属于集合B中的元素的全体。就是上图中阴影部分所表示的集合。即是由集合A、B的公共元素所组成的集合。它称为集合A、B的交集.符号“”读作“交”，“AB”读作“A交B”。如上例中的集合A、B，则AB=2，4。关于两个集合的容斥原理：集合A与B的并集的元素个数，等于集合A的元素个数与集合B的元素个数的和，减去集合A与B的交的元素个数。即：|AB|=|A|+|B|-|AB|关于三个集合的容斥原理：163、右图中三个圆A、B、C分别表示具有三种不同性质的集合，并如图用M1、M2、M3、M7表示由三个圆形成的内部互不重叠的部分所含元素的个数，可见：ABCM1M2+M7（M1M4M6M7）+（M2M4M5M7）+（M3M5M6M7）-（M4+M7）+（M5+M7）+（M6M7）M7ABC-AB-BC-AC+ABC，事实上这个规律还可推广到按多种性质来分类的情形。设集合M中的每个元素至少具有t种性质中的一种，用n1表示各个具有1种性质的集合中的元素个数的和，n2表示各个具有2种性质的集合中元素个数的和，nt表示具有t种性质的集合中元素的个数，则集合M中元素的个数m为：m=n1-n2n3-n4+nt最后164、一项当t为偶数时取“”号，否则取“”号。【例题1】一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？ 【例题2】六年级有60人爱好数学，50人爱好语文，42人爱好体育，30人既爱好数学又爱好语文，20人既爱好语文又爱好体育，35人既爱好体育又爱好数学，有18人则三方面都爱好，请问这个年级中数学、语文、体育三方面至少爱好一项的学生有多少名？【例题3】甲、乙、丙同时给100盆花浇水。已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆？N甲N乙N丙N甲乙甲丙N乙丙N甲乙丙【例题4】某165、班同学参加期末测试，得优秀成绩的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科都是优秀成绩的有8人，数学、语文两科成绩都是优秀的有7人，语文、英语两科成绩都是优秀的有9人，三科都没得优秀成绩的有3人。请问：这个班最多有多少人？最少有多少人？【例题5】某次考试有52人参加，共考5道题，每题做错的人数统计如下：题号一二三四五做错人数46102039每人都至少做对一题，做对一道题的有7人，5道题全对的有6人，做对2道题和3道题的人数一样多，那么做对4道题的人数是多少人？【例题6】一次考试共有5道试题。做对1、2、3、4、5题的分别占参加考试人数的81%、91%、85%、79%、74%。166、如果做对3道题或3道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是百分之几？【知识点5：几何计数】图形的计数:（图形计数关键在于正确分类,有序计数。当然，仔细观察是必须的。）【例题1】数线段、角、三角形:【例题2】数正方形、长方形、三角形。（分类计数）数一数，下面两图中分别有多少三角形？【例题3】数组合图形在长方形中点一个点（如下图），那么包含这个点的长方形有多少个？点两个点呢？下图中各有多少个正方形【例题4】数钉板图形1、下面是一个相邻的横竖两排距离都相等的45矩形钉阵，现在给你许多皮筋，你能套出多少个的正方形？2、如图，方格纸上放了二十枚枚棋子，以棋子为顶点的正方形有多少？【练习题】1一个篮球队，167、五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上问：共有多少种不同的站位方法？2某市的电话号码是八位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是09中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？3在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数共可以组成多少个不同的减法算式？4上右图是八间房子的示意图，相邻两间房子都有门相通。从A点穿过房间到达B处，如果只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法？5小学每周安排4次课外活动，内容有体育、文艺、科技三种。如果要求一周内各种活动至少有一次，并且同一种活动不能连着安排168、，那么，共有多少种不同的安排方法？6某铁路线共有14个车站，这条铁路线共需要多少种不同的车票 7.在圆周上有12个点.过每两个点可以画一条直线，一共可以画出多少条直线？过每三个点可以画一个三角形，一共可以画出多少个三角形？8.由数字0、1、2、3、4可以组成多少个三位数？没有重复数字的三位数？没有重复数字的三位偶数？小于1000的自然数？9.从15名同学中选5人参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种？某两人必须入选；某两人中至少有一人入选；某三人中恰入选一人；某三人不能同时都入选.10.如右图，两条相交直线上共有9个点，问：一共可以组成多少个不同的三角形？11在游艺会上，有100名同169、学抽到了标签分别为1至100的奖券。按奖券标签号发放奖品的规则如下：（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；（4）其他标签号均奖1支铅笔。那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支？ 1247名学生参加了数学和语文考试，其中语文得100分的12人，数学得100分的17人，两门都没得100分的有26人。问：两门都得100分的有多少人？13甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有100个故事。每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读。已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事。那么甲、乙、丙3人共同读过的故170、事最少有多少个？ 14某班同学参加期末测试，得优秀成绩的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科都是优秀成绩的有8人，数学、语文两科成绩都是优秀的有7人，语文、英语两科成绩都是优秀的有9人，三科都没得优秀成绩的有3人。请问：这个班最多有多少人？最少有多少人？15如下图，在桌面上放置两两重叠，边长都相等的三个正方形纸片。已知盖住桌面的总面积是144平方厘米。三张纸片共同重叠部分的面积是42平方厘米，图中阴影面积为72平方厘米。请问：正方形的边长是多少厘米？16.数一数下图中，有多少条线段，各有多少个三角形？17数一数下图有多少个长方形。18将右图分成4块，使它们的形状、大小都171、相同并且每块内都有一个小圆圈“”19如下图有两个正方形，请把每一个正方形分成两块，两个正方形共四块，使这四块的形状、大小都相同，并且每一块中都有A、B、C、D四个字母.20如图，在58的长方形中，挖去了一个14的小长方形（阴影部分），请你将它划分成两部分，使它们能拼成一个正方形。第七章 数学思想培训要求：了解各年级学生各个层次所需掌握的知识，灵活运用公式及相应知识点解题。培训内容：本章按照数学课本的顺序主要培训组合数学中的智巧趣题，抽屉原理，统筹与对策，构造论证，最值问题，逻辑推理等问题的典型解法，并强调一些重要的数学思想方法。知识体系：组合问题第01讲智巧趣题三上12不涉及专门的数学知识，只172、需要一些简单计算和巧妙思路即可解决的问题，包括火柴棒游戏、称量问题、构造一些有趣的数排列问题等等第02讲抽屉原理一三下12从极端的情况思考即可得到答案的问题，掌握最不利原则，这也是一类特殊的最值问题通过这些简单情况可以初步理解抽屉原理中的抽屉与苹果的概念，继而学会把一些实际问题理解成为最基本的抽屉问题，考虑吧什么当作“苹果”，什么当作“抽屉”第03讲统筹与对策四上11解决各种统筹规划问题，包括安排顺序、选择最短或最长路线、货物调度等，一般采用枚举计算或找规律进行比较学会奇点与偶点的概念，能判断一个图形是否可以一笔画，并利用一笔画解决应用问题，如最短路线问题等第04讲构造论证一四上12奇偶分析，173、从简单情形看起第05讲最值问题一四下12通过对一些数之间添加算符求最大最小的问题，以及通过枚举比较来求最大最小问题，需要找到其中的变化趋势第06讲逻辑推理一五上12通过列表、排除、枚举法来解决的简单逻辑问题枚举实验的方法：将可能的答案一一枚举，逐一结合条件进行检验；列表法：将题目的条件用图表一一表示出来，通过行列的比较得出答案第07讲抽屉原理二五下12关键在于合理的构造出苹果和抽屉的抽屉问题，即把题目中的条件转换成抽屉原理的语言对某些抽屉和苹果不明显的题目可以从最坏的情况或者最极端情况出发考虑，从而找到题目的规律抽屉原则本身也可以从这个思想出发来理解，其结论就是从所有抽屉尽量平均放这个极端的情174、况出发而得到的第08讲最值问题二六上11合理枚举有助于观察内在规律，判断出最值变化的趋势和对结果影响最大的数值，从这个数值的极端的情形入手求出最值第09讲逻辑推理二六上12以足球循环比赛为代表的逻辑推理问题通过来回比较才能解决的复杂逻辑问题第10讲构造论证二六下09学会猜想并构造最优答案，并用学过的数学知识加以论证第11讲构造论证三六下10对染色和简单图论方法有所理解，对复杂的构造问题找极端情形或分类讨论【知识点1：智巧趣题】不涉及专门的数学知识，只需要一些简单计算和巧妙思路即可解决的问题，包括火柴棒游戏、称量问题、构造一些有趣的数排列问题等等【例题1】今有101枚硬币，其中有100枚同样的真175、币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同现需弄清楚伪币究竟比真币轻，还是比真币重，但只有一架没有砝码的天平那么怎样利用这架天平称两次，来达到目的？【例题2】如图10-1，这是用24根火柴摆成的两个正方形请你只移动其中的4根火柴，使它变成两个完全相同的正方形图10-1【例题3】把1，2，3，4，1986，1987这1987个数均匀排成一个大圆圈，从1开始数：隔过1划掉2，3，隔过4划掉5，6，这样每隔一个数划掉两个数，转圈划下去， 问：最后剩下哪个数？ 【知识点2：抽屉原理】专题解析：如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可176、以肯定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把mxk（xk1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明理由，得出结论。在抽屉原理的第（2）条原则中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素177、总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式： 元素总数=商抽屉数+余数如果余数不是0，则最小数=商+1；如果余数正好是0，则最小数=商。【例题1】能否在5行5列方格表的每个空格中，分别填上1，2，3这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线AD、BC上的各个数的和互不相同？【例题2】某班共有46名学生，他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数学、美术、书法和英语，每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。问班级中至少有几名学生参加的项目完全相同？【例题3】将400张卡片分给若干名同学，每人都能分到，但都不能超过11张，试证明：找少有七名同学得到的卡片的张数相同。【例题4】将1178、至10随意填在下图的10个中,试说明至少有一行的数字之和不小于15.+【知识点3：统筹对策】解决各种统筹规划问题，包括安排顺序、选择最短或最长路线、货物调度等，一般采用枚举计算或找规律进行比较学会奇点与偶点的概念，能判断一个图形是否可以一笔画，并利用一笔画解决应用问题，如最短路线问题等【例题1】妈妈让小明给客人烧水沏茶洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？【例题2】图9-1是一张道路图，每段路旁标注的数值表示小王走这段路所需的分钟数问小王179、从A出发走到B最快需要多少分钟？BA17121061413111579518图9-1【例题3】用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼如果煎1个饼需要2分钟（假定正、反面各需1分钟），问煎1993个饼至少需要几分钟？【例题4】一支勘探队在五个山头A、B、C、D、E设立了基地，人数如右图所示.为调整使各基地人数相同，如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近）【例题5】电车公司维修站有7辆电车需要维修如果用一名工人维修这7辆电车的修复时间分别为12，17，8，18，23，30，14分钟每辆电车每停开1分钟的经济损失是11元现在由3名工作效率相同的维修工人各自单独工作，要使经济损失减到最小程度，那么最小的180、损失是多少元？【知识点4：构造与论证】组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色【例题1】桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，第二次翻动其中的1992枚，第三次翻动其中的1991枚，依此类推，第1993次翻动其中的一枚能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后桌上所有的硬币原先朝下的一面都朝上？【例题2】如图10-3，在33的方格表中已经填入了9个整数如果将表中同一行或同一列的3个数181、加上相同的整数称为一次操作问：你能否通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数？23513117171923图10-3【例题3】甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行象棋比赛各班同学都按l，2，3，4，依次编号当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒在甲、乙两班比赛时，有15台是男、女生对垒；在乙、丙班比赛时，有9台是男、女生对垒试说明在甲、丙班比赛时，男、女生对垒的台数不会超过24并指出在什么情况下，正好是24 ？【例题4】将1515的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色证明：至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同【例题5】4个人聚会，每人各带2件礼品，分赠给其余3个人中182、的2人试证明：至少有2对人，每对人是互赠过礼品的【例题6】若干台计算机联网，要求： 任意两台之间最多用一条电缆连接； 任意三台之间最多用两条电缆连接； 两台计算机之间如果没有电缆连接，则必须有另一台计算机和它们都连接有电缆若按此要求最少要用79条电缆 问：(1)这些计算机的数量是多少台? (2)这些计算机按要求联网，最多可以连多少条电缆?【例题7】用若干个l6和17的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个1112的大长方形，最少要用小长方形多少个?【例题8】请写出两个数,它们约数个数之和恰好是它们的最大公约数.【例题9】如图,在9个圆圈内填入19这9数（1）证明不存在一种填法使得每条线三个圆圈183、内数之和相等.（2）是否存在一种填法使得其中8条线三个圆圈内数之和相等？如果存在请给一个填法,如果不行请证明.【例题10】有9位数学家，每人至多能讲3种语言，每3个人中至少有2个人有共通的语言求证：在这些数学家中至少有3人能用同一种语言交谈【例题11】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子问能否做到：(1) 某2堆石子全部取光？(2) 3堆中的所有石子都被取走？【知识点5：最值问题】通过对一些数之间添加算符求最大最小的问题，以及通过枚举比184、较来求最大最小问题，需要找到其中的变化趋势合理枚举有助于观察内在规律，判断出最值变化的趋势和对结果影响最大的数值，从这个数值的极端的情形入手求出最值【例题1】有4袋糖块,其中任意3袋的总和都超过60块.那么这4袋糖块的 总和最少有多少块? 【例题2】把14分成几个自然数的和,再求出这些数的乘积,要使得到得乘积尽可能大.问这个最大乘积是多少?【例题3】用1,3,5,7,9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用0，2，4，6，8这5个数组成一个三位数FGH和一个两位数IJ，求算式ABC*DE-FGH*IJ的计算结果的最大值.【例题4】用3个非零数字组成的三位数与这3个数字之和的商记为185、K.如果K是整数，那么K的最大值是多少？【例题5】将6，7，8，9，10按任意次数写在一个圆周上，每相邻两数相成，并将所得的5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？【例题6】一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？【例题7】10位小学生的平均身高是1.5米，其中有一些低于1.5米的，他们的平均身高是1.2米；另一些高于1.5米的平均身高是1.7米.那么最多有多少位同学的身高恰好是1.5米？【知识点6：逻辑推理】专题简析：逻辑推理题不涉及数据，也没有几何图形，只涉及一些相互关联的条件。它依据逻辑汇率，从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论。解决这类问题常用的方法有：直接法186、假设法、排除法、图解法和列表法等。逻辑推理问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，最后作出正确的判断。推理的过程中往往需要交替运用“排除法”和“反正法”。要善于借助表格，把已知条件和推出的中间结论及时填入表格内。填表时，对正确的（或不正确的）结果要及时注上“”（或“”），也可以分别用“1”或“0”代替，以免引起遗忘或混乱，从而影响推理的速度。推理的过程，必须要有充足的理由或重复内的根据，并常常伴随着论证、推理，论证的才能不是天生的，而是在不断的实践活动中逐渐锻炼、培养出来的。【例题1】星期一早晨，王老师走进教室，发现教室里的坏桌凳都修好了。传达187、室人员告诉他：这是班里四个住校学生中的一个做的好事。于是，王老师把许兵、李平、刘成、张明这四个住校学生找来了解。（1）许兵说：桌凳不是我修的。（2）李平说：桌凳是张明修的。（3）刘成说：桌凳是李平修的。（4）张明说：我没有修过桌凳。后经了解，四人中只有一个人说的是真话。请问：桌凳是谁修的？【例题2】虹桥小学举行科技知识竞赛，同学们对一贯刻苦学习、爱好读书的四名学生的成绩作了如下估计：（1）丙得第一，乙得第二。（2）丙得第二，丁得第三。（3）甲得第二，丁得死四。比赛结果一公布，果然是这四名学生获得前4名。但以上三种估计，每一种只对了一半错了一半。请问他们各得第几名？【例题3】六年级有四个班，每个188、班都有正、副班长各一人。平时召开年级班长会议时，各班都只有一人参加。参加第一次回师的是小马、小张、小刘、小林；参加第二次会议的是小刘、小朱、小马、小宋；参加第三次会议的是小宋、小陈、小马、小张，小徐因有病，三次都没有参加。你知道他们哪两个是同班的吗？【例题4】甲、乙、丙、丁4个队参加足球循环赛，即每两队之间都比赛一场现在甲、乙、丙的比赛情况如图10-1，请由此确定甲与丁的比分，丙与丁的比分已赛场数胜场数负场数平场数进球数失球数甲210132乙320120丙202035图10-1【例题5】一次考试共有10道判断题，正确的画“”，错误的画“”，每道题答对得10分，不答得0分，满分为100分甲、乙、189、丙、丁4名同学的解答及甲、乙、丙3名同学的得分如图10-2那么丁应得多少分？ 题号学生12345678910得分甲70乙70丙v60丁？图10-2【练习题】1数学教师带领30名学生做游戏，师生每人都各自在一张纸上把自然数1至30写成一行，顺序由自己决定然后同学们将自己的纸条与老师所写的纸条相比，有几个数与老师所写的位置相同，就可得几分现在知道30名学生所得分数各不相同，请说明其中必有1名学生所写的纸条与老师的顺序完全相同2求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数3在边长为1的正方形内随意放进9个点，证明其中必有3个点构成的三角形的面积不大于4有100根火柴，甲、乙两人轮流取190、，规定每次可取110根火柴，以先取完火柴的人为胜者如果甲先取，那么谁有必胜策略？5桌上有一块金帝牌巧克力，它被直线划分为排成3行7列的21个小方块现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；拿走其中一块，把另一块留给对手再切；谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜？6某花园的小径如图9-7所示，一个人能否从图中标有1的点出发，不重复地走遍所有小径？如果能，请给出走法；如果不能，请标出最少必须重复的那些小径123456789101112图9-77在一个66的方格棋盘中，将若干个191、11的小方格染成红色如果随意划掉3行3列，在剩下的小方格中必定有一个是红色的那么最少要涂多少个方格?8如图10-3，在33的方格表中已经填入了9个整数如果将表中同一行或同一列的3个数加上相同的整数称为一次操作问：你能否通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数？23513117171923图10-39若干箱货物总重19.5吨，每箱重量不超过353千克那么最少需要多少辆载重量为1.5吨的汽车，才能保证把这些箱货物一次全部运走？10有一种小型天平秤备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码.为了能秤出1克到91克之间的任意一种整数克重量，如果只允许在天平一端放砝码，那么最少需要准备砝码多少个？11有192、13个不同的自然数，它们的和是100.问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？12将1，2，3，49，50任意分成10组，每组5个数.在每一组中，数值居中的那个数称为“中位数”.求这10个中位数之和的最大值和最小值.13教师给甲、乙、丙各发一张写着不同整数的卡片 教师说：“甲的卡片上写着一个两位数，乙的卡片上写着一个一位数，丙的卡片上写着一个比60小的两位数，并且甲的数乘以乙的数等于丙的数请大家先看一下自己的数，然后猜一猜其他两位同学的数是多少？” 甲说：“我猜不出其他两个人的数”丙说：“我也猜不出其他两个人的数”甲听了丙的话后，问乙：“你猜得出我与丙的数吗？”乙说：“我猜不出你们两个人的数”听193、到这里，甲说：“我已知道乙和丙的数，乙的数是，丙的数是，对不对？”乙、丙答：“很对！” 那么，3张卡片上的数各是多少？145位学生A，B，C，D，E参加一场比赛某人预测比赛结果的顺序是ABCDE，结果没有猜对任何一个名次，也没有猜中任何一对相邻的名次（意即某两个人实际上名次相邻，而在此人的猜测中名次也相邻，且先后顺序相同）；另一个人预测比赛结果为DAECB，结果猜对了两个名次，同时还猜中了两对相邻的名次求这次比赛的结果15某参观团根据下列条件从A，B，C，D，E这5个地方中选定参观地点：若去A地，则也必须去B地；B，C两地中至多去一地；D，E两地中至少去一地；C，D两地都去或者都不去；若去E地194、，一定要去A，D两地那么参观团所去的地点是哪些？第八章 数学史一、中国数学史中国古代数学的萌芽数学是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。中国古代数学的萌芽原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。西安半坡出土的陶器有用18个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。195、据史记夏本纪记载，夏禹治水时已使用了这些工具。商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。公元前一世纪的周髀算经提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。礼记内则篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已196、使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来197、进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论，对中国古代数学理论的发展是很有意义的。 中国古代数学体系的形成秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以九章算术为代表的数学著作的出现。九章算术是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平198、方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等，水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。九章算术有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等。这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的。秦汉时期，一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度，以及发展社会生产服务，强调数学的应199、用性。最后成书于东汉初年的九章算术，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的。九章算术在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展。 中国古代数学的发展魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注周髀算经，汉末魏初徐岳撰九章算术注，魏末晋初刘徽撰九章算术注、九章重200、差图都是出现在这个时期。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在周髀算经书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“日高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”，才能使数学著作简明严密，利于读者。他的九章算术注不仅201、是对九章算术的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。刘徽创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率为 157/50和 3927/1250。刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1，解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径。东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。祖冲之父子的工作就是经济文化南移以后，南方数学发展的具有代表性的工作，他们在刘徽注九章算术的基础上，把传统数学大大向前推进了一步。他们的数学工作主要有：计算出圆周率在3.1415926202、3.1415927之间；提出祖(日恒)原理；提出二次与三次方程的解法等。据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积，从而得到了这个结果。他又用新的方法得到圆周率两个分数值，即约率22/7和密率355/113。祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久；祖冲之之子祖(日恒)总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖(日恒)公理。祖(日恒)应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。隋炀帝好大喜功，大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的缉古203、算经，主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数学的情况。王孝通在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要，也为后来天元术的建立打下基础。此外，对传统的勾股形解法，王孝通也是用数字三次方程解决的。唐初封建统治者继承隋制，656年在国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，学生30人。由太史令李淳风等编纂注释算经十书，作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的算经十书，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的。他们给周髀算经、九章算术以及海岛算经所作的注解，对读者是有帮助的。隋唐时期，由于历法204、的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。算筹是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点，因此很早就开始进行改革。其中太乙算、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘，在技术上是重要的改革。尤其是“珠算”，它继承了筹算五升十进与位值制的优点，又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿档，携带不方便，因此仍没有普遍应用。唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从新唐书等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主205、要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。 中国古代数学的繁荣960年，北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用。1084年秘书省第一次印刷出版了算经十书，1213年鲍擀之又进行翻刻。这些都为数学发展创造了良好的条件。从1114世纪约300年期间，出现了一批著名的数学家和数学著作，如贾宪的黄帝九章算法细草，刘益的议古根源，秦九韶的数书九章，李冶的测圆海镜和益古演段，杨辉的详解九章算法日用算法和杨辉算法，朱世杰的算学启蒙四元206、玉鉴等，很多领域都达到古代数学的高峰，其中一些成就也是当时世界数学的高峰。从开平方、开立方到四次以上的开方，在认识上是一个飞跃，实现这个飞跃的就是贾宪。杨辉在九章算法纂类中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”；在详解九章算法中载有贾宪的“开方作法本源”图、“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开四次方的例子。根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表，创造了增乘开方法。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响，其中贾宪三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。把增乘开方法推广到数字高次方程(包括系数为负的情形)解法的是刘益。杨辉算法中“田亩比类乘除捷法”卷，介绍了原书中22个二次方程和 1个四次方207、程，后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在数书九章中收集了21个用增乘开方法解高次方程(最高次数为10)的问题。为了适应增乘开方法的计算程序，奏九韶把常数项规定为负数，把高次方程解法分成各种类型。当方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母，常数为分子来表示根的非整数部分，这是九章算术和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第二位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第二位数的试除法，这比西方最早的霍纳方法早500多年。元代天文学家王恂、郭守敬等在授时历中解决了三次函数的内插值问题。秦九韶在“缀术推星208、”题、朱世杰在四元玉鉴“如象招数”题都提到内插法(他们称为招差术)，朱世杰得到一个四次函数的内插公式。用天元(相当于x)作为未知数符号，立出高次方程，古代称为天元术，这是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶的测圆海镜。从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的创造。留传至今，并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的四元玉鉴。朱世杰的四元高次联立方程组表示法是在天元术的基础上发展起来的，他把常数放在中央，四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其他各项放在四个象限中。朱世杰的最大贡献是提出四元消元法，其方法是209、先择一元为未知数，其他元组成的多项式作为这未知数的系数，列成若干个一元高次方程式，然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数。重复这一步骤便可消去其他未知数，最后用增乘开方法求解。这是线性方法组解法的重大发展，比西方同类方法早400多年。勾股形解法在宋元时期有新的发展，朱世杰在算学启蒙卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，补充了九章算术的不足。李冶在测圆海镜对勾股容圆问题进行了详细的研究，得到九个容圆公式，大大丰富了中国古代几何学的内容。已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春分点运行的黄经余弧，求赤经余弧和赤纬度数，是一个解球面直角三角形的问题，传统历法都是用内插法进行计算。元代王恂、郭守敬等210、则用传统的勾股形解法、沈括用会圆术和天元术解决了这个问题。不过他们得到的是一个近似公式，结果不够精确。但他们的整个推算步骤是正确无误的，从数学意义上讲，这个方法开辟了通往球面三角法的途径。中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期。宋元明的历史文献中载有大量这个时期的实用算术书目，其数量远比唐代为多，改革的主要内容仍是乘除法。与算法改革的同时，穿珠算盘在北宋可能已出现。但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘，又有一套完善的算法和口诀，那么应该说它最后完成于元代。宋元数学的繁荣，是社会经济发展和科学技术发展的必然结果，是传统数学发展的必然结果。此外，数学家们的科学思想与数学思想也是十分重要的。宋元211、数学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义。秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源，但他后来认识到，“通神明”的数学是不存在的，只有“经世务类万物”的数学；莫若在四元玉鉴序文中提出的“用假象真，以虚问实”则代表了高度抽象思维的思想方法；杨辉对纵横图结构进行研究，揭示出洛书的本质，有力地批判了象数神秘主义。所有这些，无疑是促进数学发展的重要因素。中西方数学的融合原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。中国从明代开始进入了封建社会的晚期，封建统治者实行极权统治，宣传唯心主212、义哲学，施行八股考试制度。在这种情况下，除珠算外，数学发展逐渐衰落。16世纪末以后，西方初等数学陆续传入中国，使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面；鸦片战争以后，近代数学开始传入中国，中国数学便转入一个以学习西方数学为主的时期；到19世纪末20世纪初，近代数学研究才真正开始。从明初到明中叶，商品经济有所发展，和这种商业发展相适应的是珠算的普及。明初魁本对相四言杂字和鲁班木经的出现，说明珠算已十分流行。前者是儿童看图识字的课本，后者把算盘作为家庭必需用品列入一般的木器家具手册中。随着珠算的普及，珠算算法和口诀也逐渐趋于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞归、起一口诀；徐心鲁和程大位增添加、减213、口诀并在除法中广泛应用归除，从而实现了珠算四则运算的全部口诀化；朱载墒和程大位把筹算开平方和开立方的方法应用到珠算，程大位用珠算解数字二次、三次方程等等。程大位的著作在国内外流传很广，影响很大。1582年，意大利传教士利玛窦到中国，1607年以后，他先后与徐光启翻译了几何原本前六卷、测量法义一卷，与李之藻编译圜容较义和同文算指。1629年，徐光启被礼部任命督修历法，在他主持下，编译崇祯历书137卷。崇祯历书主要是介绍欧洲天文学家第谷的地心学说。作为这一学说的数学基础，希腊的几何学，欧洲玉山若干的三角学，以及纳皮尔算筹、伽利略比例规等计算工具也同时介绍进来。在传入的数学中，影响最大的是几何原本。214、几何原本是中国第一部数学翻译著作，绝大部分数学名词都是首创，其中许多至今仍在沿用。徐光启认为对它“不必疑”、“不必改”，“举世无一人不当学”。几何原本是明清两代数学家必读的数学书，对他们的研究工作颇有影响。其次应用最广的是三角学，介绍西方三角学的著作有大测割圆八线表和测量全义。大测主要说明三角八线(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢)的性质，造表方法和用表方法。测量全义除增加一些大测所缺的平面三角外，比较重要的是积化和差公式和球面三角。所有这些，在当时历法工作中都是随译随用的。1646年，波兰传教士穆尼阁来华，跟随他学习西方科学的有薛凤柞、方中通等。穆尼阁去世后，薛凤柞据其所学，编215、成历学会通，想把中法西法融会贯通起来。历学会通中的数学内容主要有比例对数表比例四线新表和三角算法。前两书是介绍英国数学家纳皮尔和布里格斯发明增修的对数。后一书除崇祯历书介绍的球面三角外，尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式、纳氏比例式等。方中通所著数度衍对对数理论进行解释。对数的传入是十分重要，它在历法计算中立即就得到应用。清初学者研究中西数学有心得而著书传世的很多，影响较大的有王锡阐图解、梅文鼎梅氏丛书辑要(其中数学著作13种共40卷)、年希尧视学等。梅文鼎是集中西数学之大成者。他对传统数学中的线性方程组解法、勾股形解法和高次幂求正根方法等方面进行整理和研究，使濒于枯萎的明代数学出现了生机。年216、希尧的视学是中国第一部介绍西方透视学的著作。清康熙皇帝十分重视西方科学，他除了亲自学习天文数学外，还培养了一些人才和翻译了一些著作。1712年康熙皇帝命梅彀成任蒙养斋汇编官，会同陈厚耀、何国宗、明安图、杨道声等编纂天文算法书。1721年完成律历渊源100卷，以康熙“御定”的名义于1723年出版。其中数理精蕴主要由梅彀成负责，分上下两编，上编包括几何原本、算法原本，均译自法文著作；下编包括算术、代数、平面几何平面三角、立体几何等初等数学，附有素数表、对数表和三角函数表。由于它是一部比较全面的初等数学百科全书，并有康熙“御定”的名义，因此对当时数学研究有一定影响。综上述可以看到，清代数学家对西方数217、学做了大量的会通工作，并取得许多独创性的成果。这些成果，如和传统数学比较，是有进步的，但和同时代的西方比较则明显落后了。雍正即位以后，对外闭关自守，导致西方科学停止输入中国，对内实行高压政策，致使一般学者既不能接触西方数学，又不敢过问经世致用之学，因而埋头于究治古籍。乾嘉年间逐渐形成一个以考据学为主的乾嘉学派。随着算经十书与宋元数学著作的收集与注释，出现了一个研究传统数学的高潮。其中能突破旧有框框并有发明创造的有焦循、汪莱、李锐、李善兰等。他们的工作，和宋元时代的代数学比较是青出于蓝而胜于蓝的；和西方代数学比较，在时间上晚了一些，但这些成果是在没有受到西方近代数学的影响下独立得到的。与传统数学218、研究出现高潮的同时，阮元与李锐等编写了一部天文数学家传记畴人传，收集了从黄帝时期到嘉庆四年已故的天文学家和数学家270余人(其中有数学著作传世的不足50人)，和明末以来介绍西方天文数学的传教士41人。这部著作全由“掇拾史书，荃萃群籍，甄而录之”而成，收集的完全是第一手的原始资料，在学术界颇有影响。1840年鸦片战争以后，西方近代数学开始传入中国。首先是英人在上海设立墨海书馆，介绍西方数学。第二次鸦片战争后，曾国藩、李鸿章等官僚集团开展“洋务运动”，也主张介绍和学习西方数学，组织翻译了一批近代数学著作。其中较重要的有李善兰与伟烈亚力翻译的代数学代微积拾级；华蘅芳与英人傅兰雅合译的代数术微积溯源决219、疑数学；邹立文与狄考文编译的形学备旨代数备旨笔算数学；谢洪赉与潘慎文合译的代形合参八线备旨等等。代微积拾级是中国第一部微积分学译本；代数学是英国数学家德摩根所著的符号代数学译本；决疑数学是第一部概率论译本。在这些译著中，创造了许多数学名词和术语，至今还在应用，但所用数学符号一般已被淘汰了。戊戌变法以后，各地兴办新法学校，上述一些著作便成为主要教科书。在翻译西方数学著作的同时，中国学者也进行一些研究，写出一些著作，较重要的有李善兰的尖锥变法解考数根法；夏弯翔的洞方术图解致曲术致曲图解等等，都是会通中西学术思想的研究成果。由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程，加上清末统治者十分腐败，在太平天国220、运动的冲击下，在帝国主义列强的掠夺下，焦头烂额，无暇顾及数学研究。直到1919年五四运动以后，中国近代数学的研究才真正开始。 二、数学名家中国数学名人三国赵 爽汉刘 徽南北朝祖冲之祖 暅宋贾 宪秦九韶沈 括杨 辉朱世杰唐李淳风王孝通金李 冶明程大位清李善兰李 锐汪 莱徐光启近现代苏步青华罗庚陈省身陈建功陈景润熊庆来王梓坤吴学谋陆家羲许宝騄关肇直王 浩曾远荣外国数学名人古希腊阿基米德毕达哥拉斯欧几里得阿波罗尼奥斯埃拉托色尼柏拉图丢番图法国柯西达朗贝尔笛卡儿费马傅立叶伽罗华韦达帕斯卡棣莫弗庞加莱拉格朗日德扎格勒贝格德国莱布尼茨高斯康托尔希尔伯特开普勒黎曼爱因斯坦外尔斯特拉斯戴德金F克莱因英国牛顿布221、尔罗素哈密顿纳皮尔美国冯诺依曼维纳M克莱因意大利斐波那契伽利略苏俄哥德巴赫辛钦罗巴切夫斯基柯瓦列夫斯卡娅瑞士欧拉加拿大托姆塔特三、数学名著中国九章算术数书九章测圆海镜周髀算经孙子算经海岛算经算数书数术记遗外国几何原本几何基础几何学代数学莱因德纸草书算术圆锥曲线论四、数学名题庞加莱猜想几何的三大问题堆数奇观四色猜想斐波那契的兔子问题装填难题黎曼猜想七桥问题费尔马大定理哥德巴赫猜想百鸡问题难铺的瓷砖高斯猜想鸡兔同笼问题古老的幻方叙拉古猜想科克曼女生问题邮递员的疑惑肖尔茨-布劳尔猜想凫雁问题盈不足术费尔马数之猜想装错信封问题汉诺塔的传说与棋盘上的麦粒纽结的分类倍立方体问题第三篇 专业知识普及第一章 222、介绍学校成立于1994年，至今已经步入第14年。目前学校开设科目涉及中小幼文化课、文体艺术、科技等领域，科目多达100余种，在我国民办培训教育领域中独占鳌头，堪称典范。“”已经成为中、小、幼教育培训的领导品牌。目前的教学点遍布京城，先后在海淀区、朝阳区、西城区、东城区、昌平区、石景山区、宣武区、顺义区、崇文区、丰台区、通州区开设了100多处教学点。随着南昌、上海、武汉、郑州、石家庄、西安等16个城市分校的建立，学校同期在校生达到近20万人。国际语言培训中心、中小学文化培训中心、文体潜能中心、冬夏令营中心、幼教中心、家教中心等内部机构经过整合，日益完善。网()旗下高考网、中考网、奥数网、作文网、223、英语网、家教网等11个子站构建了庞大的网络体系。2007年9月4日，学校与启明创投战略合作签约仪式在北京饭店举行，由启明主投、SIG跟投的2000万美元风险投资，已经成为教育集团成功融入的真金白银，为的发展，以及3至5年内的上市提供了很好的保证。第二章 课程介绍一、华数课本班报班指导：华数学生必报的经典课程，适合所有1-6年级学习华数的学生。课程介绍：学校奥林匹克数学课本（简称“华数课本”）是北京学校主编的用于实施超常教育的教材，现已被众多学有余力和学有兴趣的学生所青睐。学校自创办之日起，利用本套教材培养了数以万计的超常学员，已成为我市培养数学尖子生的“摇篮”。相信华数课程可以为您的孩子 “开224、思维之窍，入解题之门”，奠定坚实的基础，攀登数学的颠峰！二、学校小学数学尖子班、实验班简介报班指导：对数学有浓厚的兴趣，在数学方面感到学有余力的学生通过选拔考试进入尖子班、实验班学习。尖子班、实验班每年7月招生报名，8月考试入学，春季按照原来的班次进行升班。课程介绍：学校数学尖子班、实验班是北京市最高水平数学辅导班型。尖子班、实验班拥有最高端的数学教师团队，最优秀的超常学生群体，最及时的家长教育咨询服务，最丰富的数学教学资源，最优先推荐中学和推荐参赛的机会，是真正的人大附中目标班。尖子班实验班每年都会推荐大量学生，其中90%都能顺利进入市重点中学。 尖子班、实验班采用报名考试选拔，分层教学的模225、式，每位同学都可以在尖子班、实验班中寻找到提升思维能力的个性化发展空间。尖子班、实验班讲义由学校数学思维导引第一作者、华校前思维能力测试命题组组长姚健钢精心策划，为学生量身定做，精准把握华数思想精髓，达到事半功倍的教学效果，力争培养出全国最优秀的华数学生。北京市学校数学尖子班是学校倾力打造的高端小学数学辅导班型。经过六年多的发展，现已成为学校乃至北京地区的品牌课程。尖子班运用先进的教学思想、教学理念和教学方法，教师充分利用数学的学科优势为尖子学生量身定造学习计划，实施超常教育，充分挖掘潜力，稳步快速提高超常儿童的综合素质和思维能力。尖子班将学生的综合素质和思维能力放在首位，在教学上从不急功近利226、，不以升学和竞赛成绩作为唯一追求的目标，多年来已经形成了完整成熟的教学体系和模式。尖子班教学计划从整个小学阶段全局的角度出发，根据学生随着年龄增长而不断提高的知识水平，采用循序渐进的方式，将所有竞赛数学的内容分成了96个专题，从3年级至6年级每个学期都按照12讲问题进行编排。同时，尖子班利用寒暑假的时间组织短训的课程，在学生时间比较充裕的时间段通过讲与练的结合，让每一位学生都能得到充分的锻炼和实战的机会。尖子班还在周一至周五的晚上开设小班的课程，大胆采用全新的教学模式，让学生真正成为了学习的主体，在课堂中占主导的地位，实现了个性化的教学。三、小升初预备班报班指导：5年级提前进入小升初准备的学生227、适合此班型，努力目标是考入市重点中学数学实验班。大多6年级学生在寒假的时候基本已经定型，不再会有太大的变化，各类竞赛的成绩也基本尘埃落定，5年级春季提早准备非常有必要。课程介绍：五年级时接触专题最多的时期，重点知识点和难点也集中在这个阶段，本课程通过专题训练，真题训练进一步巩固基础知识，同时随时做好竞赛的准备，为小升初增加更多的砝码。四、小升初综合素质课程报班指导：6年级学生最后的冲刺课程，适合所有小升初的学生。课程介绍：通过秋季和寒假的两轮复习提高，学生的知识应该已经比较扎实，欠缺的就是实战能力，本课程采用大量历年小升初重点中学考试真题，系统复习奥数各个重要专题，使学生掌握所有知识要点。同时228、在教学中注重加强对应试技巧的培养，将学生调整到最佳的应试状态。五、重点中学综合素质面试辅导班班型介绍历年小升初都有面试这一环节，甚至有的学校直接采用简历加面试的方式录取，因此面试就显得颇为重要了，那么面试主要包括哪些内容呢，我们总结为以下几点：1. 学习新知识的能力2. IQ,EQ及心理测试3. 思维能力测试4. 自我介绍及语言能力的考察5. 个人才艺展示培训目的通过四次课从各个方面提高学生的综合素质，进而在小升初综合素质考察及面试取得优异成绩。课程安排三次授课+一次面试全真模拟第一次课 学习新知识的能力讲授学生普遍没有接触过的新知识，不允许做笔记，并进行当堂测试（采用名校真题）。培养学生学习229、新知识的能力。第二次课 IQ,EQ，心理测试及思维能力考察通过现场模拟测试让学生对这种不同于日常课堂中遇到的问题有所了解，见识常考题型。提高学生的观察能力，应变能力和联想能力。第三次课 英文面试大部分学校面试的时候都会有英文面试这一环节，内容包括：英文自我介绍、英语现场作文，英语对话等。本讲由英语部的富有小升初经验的优秀老师亲自授课。第四次课 全真模拟此次课将完全模拟面试时的状态，课程的前2小时15分钟是全真模拟面试，15分钟由面试老师讨论成绩，最后半小时与家长讨论孩子的面试情况，并作出相应分析。同时与家长做简单的小升初交流。全真模拟包括自我介绍，才艺展示，话题辩论（人大附中最新面试题）等内容230、。六、重点中学分班考试班报班指导：许多考入重点中学的学生在暑假前将面临学校的分班考试，在分班考试中是否分入一个较好的班次将影响整个初中三年的学习。重点中学分班考试班型帮助学生在分班考试中占据有利位置。课程介绍：本课程主要通过对往年重点中学分班测试经典题型的系统讲解，将历年考到的知识点与题型都进行更加系统的复习，帮助学生体会中学数学测试的命题思路以及学会对主观性试题的理解、分析并掌握其解题技巧。同时提前学习一些初一的重点内容，以应对分班考试试题中常常出现的部分初中知识点。七、小升初数学专题短训班学校小学数学部精心打造的品牌课程“行程问题”和“数论问题”短期班。小升初数学专家对学生在学习行程问题的231、过程中出现的问题进行了细致的研究，进行了针对性很强的辅导。与此同时我们也发现了一些在学此类问题时学生们普遍存在的问题。经过专家们的集中讨论，对这类问题做了相应的归纳总结，并给出了相应的指导，希望能对同学们今后的学习有所帮助。课程宗旨纵观历年小升初真题和各种竞赛，重点考察学生分析问题解决问题的能力，并且综合了比例，方程等重要的知识点。北京市目前小学阶段的考察命题：“小升初”数论题目通常可以占到30%，行程问题也能占到20%左右，这里面有两方面的原因，一是行程问题和数论问题本身综合型极强；二来，从学校招生角度考虑，要学好这类问题有一定的难度，起到区分学生层次的作用，所以一般压轴题经常出现在数论和行232、程问题。八、竞赛考前辅导班1、“数学解题能力展示活动”：北京教育学会数学教学研究会与中小学数学教学报主办。作为北京市的传统赛事，一直以来北京市各界都认为在数学解题能力展示活动中获奖的确可以代表该学生数学学习好，这样的一种印象和口碑使得重点中学愿意接受迎春杯获奖的学生。今年的初赛考试作为学生参加“走进美妙的数学花园”竞赛的选拔性比赛，重要程度明显提高。2、“走进美妙数学花园”数学竞赛：中国少年科学院与“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛组委会主办，比赛始创于2003年（第一届没有笔试，仅仅是活动），现在已举行过5届， “走美”作为数学竞赛中的后起之秀，凭借其新颖的考试形式以及较高的竞赛难度取233、得了非常迅速的发展，近年来在重点中学选拔中引起了广泛的关注。 “走美”比赛的一、二等奖对小升初作用非常大。3、“希望杯”数学竞赛：这是目前北京市的小学生所能参加的为数不多的全国性的比赛，到今年小学组已经是第6届了。希望杯的试题难度不大，涉及的知识点较广，能比较全面的考察学生数学解题能力。他按照小学四、五、六三个年级分组命题，每个年级组都进行两试。所有报名参赛的学生都参加第一试，其中成绩优秀者参加第二试。九、家教小学奥数课程一览表课程名称课程介绍适合学生辅导目标重基础各区课内教材各年级同步辅导与现行义务教育阶段的小学数学教材同步，综合复习强化训练课内学习有困难，学习兴趣低，学习方法欠佳以数学课程234、标准为纲，务实基础，查漏补缺，提高学生解题能力和考试成绩一年级二年级华数、奥数与“华数”教材同步同年级适龄学生提高学生数学兴趣，打开数学思维三年级六年级华数、奥数与“华数”教材同步，适当补充全国各地各类新颖、灵活的奥数赛题。同年级适龄学生；开阔视野，拓展解题思路，提高分析及应用能力四年级六年级思维导引与“华数思维导引”教材同步，精选全国各地各类新颖、灵活的奥数赛题。奥数基础较好，学习能力较强；学校面授或网校学生教授数学方法，培养分析问题、解决问题能力及创新精神重点中学超常儿童培训班入学冲刺辅导及同步辅导以各区重点中学开设的培训班的辅导讲义为主针对想考入各区一些重点学校为选拔学生开设的培训班的学235、生同步答疑，查漏不缺，强化训练，拓展提高学校入学考前辅导考前冲刺，强化集训同年级适龄学生考前强化，综合复习冲刺重点中学小升初数学综合历年小升初真题，直击小升初测试要点小学六年级学生查漏不缺，提高灵活解题能力，综合强化训练重点中学小升初综合素质强化小班综合历年小升初综合素质考试真题，考场再显小学六年级学生传授考试技巧，考试方法，考场心理素质及应变能力的训练希望杯、华罗庚金杯、走进美妙的数学花园、迎春杯、“EMC”等各类全国或北京竞赛辅导以综合历年竞赛真题为主，传授考试技巧，同年级有奥数基础考前冲刺，系统梳理，综合强化提高，直击赛题“五一”“十一”专题精讲小班针对小升初重难点专题精讲、串讲小学六年236、级学生综合小升初测试重难点专题，综合强化提高“三人行”精品小班名师执教，精选讲义，兼顾竞赛三四五六年级有奥数基础学生在活跃课堂气氛下，摩擦出智慧的火花，第三章 小升初介绍一、小升初流程寒假一二月逐渐开始，各校利于各自的培训机构考试，收简历3-4月各学校选拔学生五月底小升初择校结束6月份电脑派位二、比较好的中学：一档：四中、人大附、实验中学二档：八中、北大附、师大一附和二附、首师大附、清华附、101中学，十一学校三档：十五中、汇文、五中、八十中、二中三、关于电脑派位和跨区，跨中心区指的是海淀区、西城区等等，中心指的是在一个区分成了不同的中心。比如海淀区中有东升中心、海淀中心等等。所谓跨区，就是在237、小升初中，学生在该区上小学而被另一区的中学录取的情况。 电脑派位（这个可以看学校的家长手册）中才有中心的概念。可以说一个中心的学生派位只能到该中心的中学，比如说中关村一小属于海淀中心，它在电脑派位时就有几所面对海淀中心进行招生的学校，比如说知春里中学，中关村中学，八一中学等，在派位时，海淀中心的学生就派位到这些学校（注意不是所有的中学都参与派位的），但海淀中心的学生是不会派位到东升中心的中学去的。特殊的情况就是跨中心，也叫跨片，比如孩子户籍在海淀中心，学籍在二里沟中心，那么孩子可以选择在户籍所在中心电脑派位，这叫跨中心。 在跨区择校中有两种特例。一：有些公办学校无招生限制。海淀区的人大附中，它238、是面向全市招生的，西城区有两所学校，实验中学和四中，而且四中跨区招生的名额不占西城总体跨区招生的名额，因为四中很早就面向全国招生，因此是个特例。向三帆这样的学校它可以通过学校内部的运作，可以适当的招收到一些跨区的学生。二：民办公助的学校是没有任何限制的，像北达资源，或者像师达中学这样的民办公助学校是没有任何招生限制的，不属于跨区择校问题的范围之内。 跨区中的学籍户籍问题：现在确定孩子属于哪个区是看两个东西，一个是学籍，一个是户籍，优先考虑学籍。若只有户籍的话，那必须像有关部门申请，除此之外还有第三种情况，就是父母或孩子居住地在该地区。例如全家住在海淀区，房子产权证都齐全的话，那样也能在居住地就239、近入学，但这种情况要求十分严格，一般不予推荐，因为走的程序十分多，考查也十分严格，可以说是一类旁门左道，因此不推荐。这就是总体的政策，因此跨区一定要注意一些东西，有人问朝阳区的孩子能否跨区上北大附，回答是不可以，因为北大附是不能跨区接收到朝阳的孩子的。四、学校的来历北京市学校（简称华校），原名北京市华罗庚学校，是由中国科学院华罗庚实验室、中国科学技术大学和中国人民大学附属中学于1985年联合创办的，是人大附中的超常教育实验基地。 十多年来，学校在刘彭芝校长的直接领导下，在学校教师的辛勤耕耘下，取得了骄人的成绩，为高等学校输送了大批出类拔萃、学业优异的人才。已毕业的十四届高中部学生升入重点大学，240、其中进入北京大学、清华大学、人民大学的人数约占学生总数的70% ，保送生占25% 以上。学校学生有一千多人在区、市、国家乃至世界级的学科竞赛中获奖夺魁。其数量在北京市重点中学中名列前茅。另有十几人获全国及国际创造发明金奖，并取得国家专利。同时学校的学生在文艺体育、琴棋书画等方面成绩斐然。培养全面发展、学有专长、素质超群的一流人才是学校办学的目标。 华校由小学部、初中部和高中部组成。小学部属校外培训性质，初中部和高中部属常规中等教育，纳入人大附中建制，每个年级设两个班。华校初中部和高中部的生源分别主要来自小学部和初中部，同时面向全市招生。 华校的办学目标是为国家大面积早期发现与培养现代杰出人才开241、辟一条切实可行的途径，为我国教育事业面向现代化、面向世界、面向未来的战略方针探索一项行之有效的举措。华校在不缩短学制的情况下对学生实施高速度和高难度的教学，集体教育与个别指导相结合，使超常儿童的智力、心理和道德品质获得同步发展。 五、学校有几个年级，怎么招生？ 现在的学校招收三至六年级学生，前几年每年9月份开学后招生，近两年是在7月初招生，比如三年级学生是在二年级7月招生。 不对外招生， 报名需要通过孩子所在学校推荐获得。这两年，每年大概到6月份，一些学校会得到一定名额，各个学校分配名额的方式不太相同，一般有组织全班考试、学校数学班推荐和老师直接选派等几种方式。各个学校名额不同，像中关村一、二242、三小学、人大附小等“好”学校名额会多一些。 当然也有没有名额的学校，具体情况建议家长问问孩子的班主任。 前一年如果是学生将自动获得下一年的考试资格，与学校推荐的学生一起参加考试。二升三的考试只有学校推荐的学生。 如果孩子所在学校得不到推荐名额，可以购买人大附中网校学习卡，也有机会得到名额参加考试。 另外根据往年的情况，尖子班全部参加了学校的考试。六、华数和奥数的区别其实“奥数”、“华数”没有本质上的区别，只是说法不同而已，因为北京有所学校（原北京市华罗庚学校），他们自己编了一套奥林匹克数学教材，叫学校奥林匹克数学课本，这套教材在北京普及性强、影响力大，堪称传统经典奥数教材，所以便随之出现“华243、数”一说。“华数”只是北京特有一种说法，外地只有“奥数”或“数奥”的说法。 “奥数”与“华数”的细微区别在于：在教材编写上，知识结构顺序编排的差异和和部分习题选用难度的差异。 家长中一直流传着华数比奥数要难的说法，其原因在于的华罗庚学校数学思维训练导引（此系学校奥林匹克数学课本的配套题集）一书难度较高，比一般同年龄层次的奥数书难度要高，但其本质还是奥数。附：家长看小升初 小升初的钟声基本上都是在每年的一月就会悄然敲响。因为部分中学会在一月份就发出招生简章，紧接着三月份就会接受报名并接收简历，4月份就会进入入学面试环节，而到了5月底之前就会通过电话等方式通知被录取者了。这一切真可谓是紧锣密鼓。所244、以如果我们临到小升初再去给孩子确定目标学校，可以说是为时已晚，介于此种情况，要求我们家长在小学阶段应尽早的给孩子确定目标学校。有了目标也就有了前进和努力的方向。 而如何确立目标学校，也就成了问题的关键所在，建议家长在孩子进入小学开始就为孩子选好目标学校，并根据学校的特点和孩子的兴趣喜好报一些相应的培训班。当然目标学校的培训班是绝对不能错过的，因为很多学校的生源中90以上均来自培训班，如人大附、首师附、理工附等。而外面的培训班则可以跟目标学校的培训班形成当好的互补。使孩子在德、智、体、美、劳方面得到全面的发展，同时还能使孩子所学的知识得到巩固。 孩子在培训班学习的过程中去参加一些相应的竞赛取得相245、应的证书，比如：英语方面的剑1、剑2、剑3等，奥数的走美、迎春杯、华杯赛等如果能取得相就的证书。无疑都会成为孩子备战小升初的得力法宝。也即人们常说的：敲门砖！证书的取得也能使孩子在未来的小升初面试中增加一份自信，心里更加有底。第四章 重大赛事介绍一、希望杯“希望杯”与“小升初”1、什么样的同学适合参加希望杯？应该说，在学校学习处于中等偏上的同学都可以参加希望杯。原因有二： （1）希望杯分为“一试”和“二试”。“一试”以考察学校的基础知识和技巧为主。强调在学校基础上的创新，培养独立解决问题的能力。所以，对于在学校学有余力的同学来说非常适合参加希望杯。“二试”难度较高，需要补充一些课外知识点，并要246、求具有比较强的解题能力。每年寒假期间会开设希望杯的辅导班，为学生做细致的讲解。 （2）希望杯获奖对于小学生来说非常重要。随着小学阶段大型竞赛的取消，希望杯的重要性便随之提升。尤其值得说明的是，第五届小学“希望杯”数学邀请赛加入了六年级组，因此，毫无疑问地说，每年六年级“希望杯”的获奖成绩是与小升初直接挂钩的。2、希望杯考试题难度与小升初考试有什么关系？ 刨除“二试”的个别试题，希望杯试题在难度上，与各重点中学小升初考题的难度相当。因此，希望杯的试题资源也成为各重点中学小升初选拔考试的一个主要来源。 2006年小升初选拔考试中，人大附中、清华附中、十一学校等校的试题中都有希望杯的原题出现，或是对247、一些希望杯试题稍加改变，成为压轴题。3、“希望杯”证书在小升初中有什么样的作用？ 综合近两年各重点中学的小升初选拔，可以总结出各校的小升初选拔主要考虑到三个因素： （1）市、区三好证书； （2）奥数、公英考试成绩； （3）小学阶段杯赛获奖成绩。 其中第三项，就指的是希望杯、迎春杯等这些竞赛获奖成绩。随着其他杯赛的取消，希望杯、迎春杯获奖就是非常有必要的了。4、每年小学希望杯如何备考？ “希望杯”全国数学邀请赛从1990年开始举办，小学组“希望杯”赛从2003年开始，至今已成功举办了好多届，虽然没有初中组举办的时间长，但单从这几届的试题来看，这些试题几乎已经覆盖了小学数学的全部知识点和难点以及小248、学数学课本以外的很多内容，因此，如何有效地帮助学生从中提取最精彩最重要的部分，按数学的系统整理出来，便非常必要。 应广大家长和学员的要求，每年会在寒假班开设针对历届“希望杯”真题的精讲班，从而帮助同学们在每年的3月份和4月份的1试、2试中取得良好的竞赛成绩。附：第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛章程1. 主办单位 数理天地杂志社,中国优选法统筹法与经济数学研究会数学教育委员会。 2. 宗旨鼓励小学生努力学习和进步，培养他们学习数学的兴趣，提高他们的科学思维素质，为小学数学教研人员提供新的信息和资料，促进小学数学教育水平的提高。 3. 对象 普通小学四、五、六年级的学生。 4. 考试按小学四、五249、六三个年级分组命题，每个年级组都进行两试。所有报名参赛的学生都参加第一试，其中成绩优秀者参加第二试。 第一试：以考查教学进度内现行小学数学课本中应掌握的内容为主，对知识和能力的考查并重。满分为120分。 时间：2007年3月18日(星期日)上午830至1000。 地点：各参赛学校。 第二试：试题内容同第一试，但能力上比第一试有更高要求，满分为120分。 时间：2007年4月15日(星期日)上午830至1000。第二试由地、市级教研室(或教科院、所，教育学院，教师进修学校，师大数学系，青少年科技活动中心等)或本地区数理天地编委分会统一组织，必须：统一考场，统一监考。 5命题由数学家、数学教育专250、家、大中小学数学教师组成命题委员会负责命题。欢迎各地数学教研员，大中小学数学教师编拟备选题。备选题须在2006年12月15日前向邀请赛组委会寄出。题目被选用的命题人将获得“希望杯命题奖”及奖金。 本届试题及培训题将汇编至“希望杯”数学竞赛系列丛书中，于2007年10月正式出版。 6试卷 第一、第二两试试卷均由组委会在北京统一印制，在考试前一个月向各考点负责人挂号寄出。 各考点收到试卷后，要妥善保管、严格守密，在正式考试前绝对不准以任何方式透露试题内容，如有违反，则取消本考点全部获奖资格。 7阅卷第一试的答卷，由各考点按命题委员会下发的评分标准进行阅卷和评分，在各校范围内按成绩择优确定第一试人数251、的四分之一参加第二试。第二试结束后，各考点应立即密封试卷向北京 “希望杯”全国组委会办公室寄出，由命题委员会进行阅卷、评奖。逾期不寄的考点，视为自动放弃获奖资格。 8奖励 (1) 进入第二试者为第一试优胜，由各校通报表扬。(2) 在参加第二试的学生中按成绩取五分之一(即参赛总人数的二十分之一)的选手评定一、二、三等奖，分别授予金、银、铜奖牌及获奖证书。获奖学生可参加“希望杯”全国数学邀请赛组委会组织的“科普夏令营”（国内外）。 (3) 授予一、二等奖获奖学生的辅导教师“数学竞赛优秀教练”称号及证书，授予三等奖获得者的辅导教师中的优秀者“数学竞赛优秀辅导员”称号及证书。 (4) 授予组织工作出色252、的地区或学校“希望杯”组织工作奖，授予负责人“数学教育优秀园丁”称号及证书。 凡获“希望杯”组织工作奖的考点，每年可派代表参加由“希望杯”组委会组织，数理天地杂志社和北京丘衡科技开发中心给予经济支持的国内外教育交流和考察活动。 (5) 竞赛结果于2007年5月底前发到各考点，奖品同时下发。此外，还将在中青在线网站、数理天地网站和“希望杯数学竞赛系列丛书”中公布竞赛结果。 9报名 各地、市、县(区)的教研室（或教科院、所，教育学院，教师进修学校，师大数学系，青少年科技活动中心等）或本地区数理天地编委分会自愿组织报名。 报名办法： 参加邀请赛的每个学生交报名费5至8元。 报名截止时间：2006年1253、2月31日 (以是否收到报名表及报名费为准)逾期报名，一律不受理。二、“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 “华罗庚金杯”少年数学邀请赛（简称“华杯赛”）是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授，于1986年始创的全国性大型少年数学竞赛活动，由中国少年报社（现为中国少年儿童新闻出版总社）、中国优选法统筹法与经济数学研究会、中央电视台青少中心等单位联合发起并主办的。 “华杯赛”是以教育广大青少年从小学习和弘扬华罗庚教授的爱国主义思想、刻苦学习的品质、热爱科学的精神；激发广大中小学生学习数学的兴趣、开发智力、普及数学科学为宗旨的活动。二十年来， “华杯赛”已成功地举办了十一届，全国有近100个城市，30254、00多万少年儿童参加了比赛。“华杯赛”已成为了教育、鼓舞一代又一代广大青少年勇攀科学高峰和奋发向上的动力，深受广大学生、教师、家长的喜爱。日本、韩国、马来西亚、新加坡等国家和香港、澳门、台湾地区也派队参加。 “华杯赛”一贯坚持“普及性、趣味性、新颖性”相结合的命题原则。“华杯赛”主试委员会汇集了一大批经验丰富的、以华罗庚教授的学生为主的命题专家。“华杯赛”赛制为每年一届，每两年举办一次总决赛。举办总决赛当年的初赛是采取由中央电视台播放试题、全国各地少年儿童都可以坐在电视机前收看并同时答题形式。总决赛口试暨颁奖典礼是由中央电视台将现场制成专题片在中央电视台少儿频道节目黄金时间多次向全国播放。 “255、华杯赛”从一开始就受到中央领导和老一辈革命家的重视与关怀。1986年中共中央总书记胡耀邦亲自为“华罗庚金杯”题写杯名。方毅、卢嘉锡、王首道、吴阶平、钱伟长、王光英、万国权、张怀西、李蒙等领导都曾亲临赛场视察，为获奖选手颁奖。 中国数学界的权威人士也对“华杯赛”给予极大的关注与支持。著名数学家、中国科学院院士王元教授、杨乐教授，北京大学原校长丁石孙教授、著名数学家曾肯成教授、王寿仁教授、龚升教授、梅向明教授都曾出任主试委员会顾问，并亲自参与审题。世界著名数学大师陈省身先生曾出任“华杯赛”的名誉主任，并为“华杯赛”题词。 各省、市的领导对“华杯赛”给予了积极的支持，广东省原省长卢瑞华先生连续六届担256、任“华杯赛”组委会主任。澳门行政长官何厚铧先生多次为本赛事提供帮助。全国越来越多的各界人士对“华杯赛”给予关注和支持。 “华杯赛”的成功举办，得到了新闻单位的密切配合和支持。新华社、中央电视台、中国教育电视台、中央人民广播电台、人民日报、中国教育报、中国教师报、中国青年报、中国少年报、中国中学生报、科技日报等新闻媒体每届均相继报道“华杯赛”的消息。 把“华杯赛”的发展与青少年素质教育紧密地结合起来，将科学的发展寄希望于未来，我们相信“华杯赛”将会吸引越来越多的青少年投入到学科学、爱科学的行列中来。经过不懈的努力，“华杯赛”必将迈向国际舞台。三、走进美妙的数学花园（一）. 竞赛形式。1数学建模论257、文答辩及相关数学问题现场答辩赛（小学三年级初二年级），占总成绩50%的比例。 2“走进美妙数学花园” 趣味数学解题技能展示赛（小学三年级初中二年级），占总成绩50%的比例。（二）. 参赛对象。2006年度在市学生假日活动中心各基地参加假日活动和智禾培训的学员及经市学生假日活动中心授权在各县（市、区）相关单位参加假日活动培训的小学三年级初中二年级学生具有报名资格。（本次活动最终解释权归金华赛区组委会所有）（三）. 竞赛日程安排。12006年12月30日下午在各基地、各县（市、区）举行数学建模论文答辩及相关数学问题现场答辩预赛，2007年1月27号上午在金华赛区举行数学建模论文答辩及相关数学问题现258、场答辩决赛（答辩决赛现场向全国组委会及各省市与会代表开放观摩）。 22007年1月20日下午在各基地、各县（市、区）举行趣味数学解题技能展示预赛，2007年3月25日上午在金华赛区（及经授权的各县）举行趣味数学解题技能展示决赛。（四）. 竞赛范围。1数学建模论文： （1）主题不限，从身边日常学习生活的现象观察入手，运用自己所学到的知识发现数学与生活之间的美妙关系，用数学的语言进行阐述。论文要有一定的创新价值。鼓励选手和同学、老师及家长合作实践，将论文的结论用数学创新成果的形式展示出来。 （2）论文格式要求： A论文的写作顺序：标题、作者所在省份、城市、学校、班级、姓名、指导老师姓名、摘要及关键259、词、正文、参考文献。 B字体：各类标题（包括“参考文献”标题）用粗宋体；作者姓名、指导教师姓名、摘要、关键词、图表名、参考文献用楷体；正文、图表、页眉、页脚中的文字用宋体；英文用Times New Roman字体。 C字号：论文题目用三号字体，居中；正文用四号字体；页眉、页脚用小五号字体；其它用五号字体；图、表居中。 D论文正文打印页码，下面居中。 E打印纸张规格：A4 210*297 mm （3）说明：所有参评论文的作者必须是作品的合法拥有者，具有著作权，并承担相应法律责任，组委会对获奖作品具有无偿展示权、宣传权、使用权。 2“走进美妙数学花园” 趣味数学解题技能展示。 着重考察所学课本知识260、的灵活运用和解决实际问题的能力，原则上不超过新课标2006年12月底要求。（五）. 评审办法。 1根据不同学段分年级进行竞赛，以数学建模论文答辩及相关数学问题现场答辩赛决赛和趣味数学解题技能展示赛决赛两项成绩的各50%计算，记入总成绩。已被批准开设预赛试场的基地和各县（市、区）相关单位选手参加金华赛区决赛成绩优胜者由金华市教育局教研室、金华市学生假日活动中心联合颁发获奖证书。个别贡献杰出的指导老师由金华市教育局教研室、金华市学生假日活动中心联合颁发荣誉证书。 2各分赛区经过预赛后，各基地及各县（市、区）均以本赛区各年级参赛人数为基数，均按20%的比例选拔进金华赛区参加决赛。决赛获奖名额以各年级261、参赛人数的30%的比例选拔确定。决赛后由金华赛区按小学组2、初中组3的比例选拔参加全国总决赛的名额。（六）. 参赛选手报名办法。 1各基地及各县（市、区）相关单位培训及预赛活动在当地组织开展，统一使用 “走进美妙数学花园”中国青少年数学论坛组委会试卷，论坛预赛报名费40元/人（含：试卷、获奖证书、论文答辩、评审等），统一交全国组委会（金华赛区由金华组委会代收）。部分成绩优异但生活贫困的选手，经本人申请由组委会批准后可适当减免，名额控制在5左右。 2决赛在金华赛区进行，参赛选手以市学生假日活动中心各基地及被授权的各县、（市、区）学生假日活动中心各基地为单位报名，决赛不收费。 3社会个人报名地点：262、金华市汪姜路44号 智禾培训部，联系人：汪老师、蒋老师，联系电话：2069811。附：官方介绍走进数学花园，演绎一段美妙的数学人生第五届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学传播活动全国总论坛2008，北京奥运！在中国人民的心中，这几个字可谓是耳熟能详，妇孺皆知。而“走进美妙的数学花园”中国青少年数学传播活动在全国孩子们的心中，也是一个知名度相当高的数学品牌活动！ 怀揣着对数学的梦想,2007年7月20日至24日赴北京举办了第五届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学传播活动全国总论坛活动。来自全国各地包括澳门、台湾在内的19支代表队在一起交流、切磋数学解题技巧、展开智能竞赛。 中国少年科学院是共263、青团中央、全国少工委为大力推进素质教育、全面实施“科教兴国”战略而创办的青少年兴趣社团。“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛是中国少年科学院创新素质教育的品牌活动。 国际数学家大会是规模最大、水平最高的全球性数学科学学术会议。2002年8月，第二十四届世界数学家大会在北京隆重举行，并取得圆满成功。这是100多年来中国第一次主办国际数学家大会，也是发展中国家第一次主办这一盛会。 在世界数学家大会举办的同时，由2002年国际数学家大会组委会、中国数学会、中国教育学会、中国少年科学院成功举办了首届“走进美妙的数学花园”中国少年数学论坛，至今已连续举办四届，全国三十多个城市近三十万人参与了此项活动264、，在全国青少年中产生了巨大的影响。著名数学家陈省身先生两次为同学们亲笔题词“数学好玩”和“走进美妙的数学花园”，大大的鼓舞了广大青少年攀登数学高峰的热情和信心。 “走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛活动是一项综合性的数学活动。通过“趣味数学解题技能展示”、“数学建模小论文答辩”、“益智游戏”“数学发现之旅”“团体对抗赛”等活动极大地提高了广大中小学生的数学建模意识和数学应用能力，及培养他们一种正确的思维方式，使广大青少年在生动有趣的数学学习中感受数学美妙，体会到已故国际著名数学家、微分几何大师陈省身先生所说的“数学好玩”、“数学之美”和“数学是有用的”，实现从“学数学”到“用数学”过程的转变，从而进一步推动我国数学文化的传播与普及。他们所收获的可不仅仅是数学，而是演绎了一段美妙的数学人生！